Question Number 153897 by mathdanisur last updated on 11/Sep/21
$$\mathrm{Denote}\:\:\mathrm{x}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{root} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{equation}: \\ $$$$\mathrm{x}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:+\:\mathrm{x}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}−\mathrm{1}} \:+\:...\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{n}\:+\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\left(\mathrm{x}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \right)\:\mathrm{converges} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{a}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number}.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{limit}. \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 12/Sep/21
$$\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{but}... \\ $$$${f}_{{n}} \left({x}\right)={x}^{{n}} +{x}^{{n}−\mathrm{1}} +...+{x} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${f}_{{n}} \left(\mathrm{1}\right)={n} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${f}_{{n}} \left(\mathrm{1}+{k}\right)>{n}\forall{k}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\exists{k}>\mathrm{0}:\:{f}_{{n}} \left(\mathrm{1}+{k}\right)={n}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{obviously} \\ $$$${n}\rightarrow\infty\:\Rightarrow\:{k}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$