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Question Number 159517 by Khalmohmmad last updated on 18/Nov/21

lim_(x→0) (1/x^2 )(e^(−2x) −((1+ax)/(1+bx))) a+b=?

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\left({e}^{−\mathrm{2}{x}} −\frac{\mathrm{1}+{ax}}{\mathrm{1}+{bx}}\right) \\ $$$${a}+{b}=? \\ $$

Commented by tounghoungko last updated on 18/Nov/21

lim_(x→0) (1/x^2 ) ((1/e^(2x) )−((ax+1)/(bx+1))) = lim_(x→0) ((bx+1−e^(2x) (ax+1))/(x^2 e^(2x) (bx+1))) = lim_(x→0) ((bx+1−e^(2x) (ax+1))/x^2 ) = lim_(x→0) ((b−(a.e^(2x) +2(ax+1)e^(2x) ))/(2x)) = lim_(x→0) ((b−a.e^(2x) −2.e^(2x) −2ax.e^(2x) )/(2x)) [ b−a.e^(2x) −2.e^(2x) = 0 ]_(x=0) ; b=a+2 = lim_(x→0) ((−2a.e^(2x) −4.e^(2x) −2a(e^(2x) +2x.e^(2x) ))/2) =((−2a−4−2a)/2) = −2a−2

$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:\left(\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{2}{x}} }−\frac{{ax}+\mathrm{1}}{{bx}+\mathrm{1}}\right)\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{bx}+\mathrm{1}−{e}^{\mathrm{2}{x}} \left({ax}+\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} {e}^{\mathrm{2}{x}} \left({bx}+\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{bx}+\mathrm{1}−{e}^{\mathrm{2}{x}} \left({ax}+\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{b}−\left({a}.{e}^{\mathrm{2}{x}} +\mathrm{2}\left({ax}+\mathrm{1}\right){e}^{\mathrm{2}{x}} \right)}{\mathrm{2}{x}}\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{b}−{a}.{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2}.{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2}{ax}.{e}^{\mathrm{2}{x}} }{\mathrm{2}{x}}\: \\ $$$$\left[\:{b}−{a}.{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2}.{e}^{\mathrm{2}{x}} \:=\:\mathrm{0}\:\right]_{{x}=\mathrm{0}} \:;\:{b}={a}+\mathrm{2} \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{2}{a}.{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{4}.{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2}{a}\left({e}^{\mathrm{2}{x}} +\mathrm{2}{x}.{e}^{\mathrm{2}{x}} \right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{2}{a}−\mathrm{4}−\mathrm{2}{a}}{\mathrm{2}}\:=\:−\mathrm{2}{a}−\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$

Answered by FongXD last updated on 18/Nov/21

Without L′hospital′s rule L=lim_(x→0) (1/x^2 )(e^(−2x) −((1+ax)/(1+bx))) form: ∞×0 L=lim_(x→0) (((1+bx)e^(−2x) −(1+ax))/(x^2 (1+bx)))=−lim_(x→0) ((e^(2x) +axe^(2x) −1−bx)/x^2 )×(1/(e^(2x) (1+bx))) L=−lim_(x→0) ((e^(2x) −2x−1)/x^2 )−lim_(x→0) ((axe^(2x) +2x−bx)/x^2 ) L=−lim_(x→0) ((e^(2x) −2x−1)/x^2 )−lim_(x→0) ((ae^(2x) +2−b)/x) take M=lim_(x→0) ((e^(2x) −2x−1)/x^2 ) ⇔ M−1=lim_(x→0) ((e^(2x) −x^2 −2x−1)/x^2 )=lim_(x→0) ((e^(2x) −(x+1)^2 )/x^2 ) ⇔ M−1=lim_(x→0) ((e^x −x−1)/x^2 )(e^x +x+1)=2lim_(x→0) ((e^(2x) −2x−1)/(4x^2 )), (change x to 2x) ⇔ M−1=(1/2)M, ⇒ M=2 then L=−M−lim_(x→0) ((ae^(2x) +2−b)/x)=−2−2alim_(x→0) ((e^(2x) −(((b−2)/a)))/(2x)) Formula: lim_(x→0) ((e^x −1)/x)=1 the limit is finite only if ((b−2)/a)=1, ⇒ b−a=2 therefore, b−a=2 and L=−2−2a

$$\:\:\:\mathrm{Without}\:\mathrm{L}'\mathrm{hospital}'\mathrm{s}\:\mathrm{rule} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{1}+\mathrm{ax}}{\mathrm{1}+\mathrm{bx}}\right)\:\:\:\:\:\mathrm{form}:\:\infty×\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{bx}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\left(\mathrm{1}+\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{bx}\right)}=−\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{axe}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{1}−\mathrm{bx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{bx}\right)} \\ $$$$\mathrm{L}=−\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{axe}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{2x}−\mathrm{bx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{L}=−\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ae}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{2}−\mathrm{b}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{take}\:\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{M}−\mathrm{1}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{M}−\mathrm{1}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} },\:\left(\mathrm{change}\:\mathrm{x}\:\mathrm{to}\:\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{M}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{M},\:\Rightarrow\:\mathrm{M}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{L}=−\mathrm{M}−\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ae}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{2}−\mathrm{b}}{\mathrm{x}}=−\mathrm{2}−\mathrm{2a}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\left(\frac{\mathrm{b}−\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\right)}{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{Formula}:\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{is}\:\mathrm{finite}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\frac{\mathrm{b}−\mathrm{2}}{\mathrm{a}}=\mathrm{1},\:\Rightarrow\:\mathrm{b}−\mathrm{a}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{therefore},\:\mathrm{b}−\mathrm{a}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{L}=−\mathrm{2}−\mathrm{2a} \\ $$

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