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Question Number 170872 by mathlove last updated on 02/Jun/22

Answered by aleks041103 last updated on 04/Jun/22

Π_(k=1) ^(n−1) sin(((kπ)/n))=Π_(k=1) ^(n−1) ((e^((kπi)/n) −e^(−((kπi)/n)) )/(2i))= =(((Π_(k=1) ^(n−1) e^((kπi)/n) )(Π_(k=1) ^(n−1) (1−e^(−((2kπi)/n)) )))/((2i)^(n−1) ))= =(e^(((πi)/n)Σ_(k=1) ^(n−1) k) /(2^(n−1) (e^((πi)/2) )^(n−1) ))Π_(k=1) ^(n−1) (1−e^(−((2kπi)/n)) )= =(e^(((πi)/n) ((n(n−1))/2)−(((n−1)πi)/2)) /2^(n−1) )Π_(k=1) ^(n−1) (1−e^(−((2kπi)/n)) )= =(1/2^(n−1) )f(1) where f(x)=Π_(k=1) ^(n−1) (x−e^(−((2kπi)/n)) ) f(x)=Π_(k=1) ^(n−1) (x−e^(−((2kπi)/n)) )=((Π_(k=0) ^(n−1) (x−e^(−((2kπi)/n)) ))/(x−1)) but e^(−((2kπi)/n)) for k=0,...,(n−1) are the n−th roots of unity. ⇒Π_(k=0) ^(n−1) (x−e^(−((2kπi)/n)) )=x^n −1 ⇒f(x)=((x^n −1)/(x−1))=1+x+x^2 +...+x^(n−1) f(1)=1+1+...+1=n ⇒Π_(k=1) ^(n−1) sin(((kπ)/n))=(n/2^(n−1) )

$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}{sin}\left(\frac{{k}\pi}{{n}}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\frac{{e}^{\frac{{k}\pi{i}}{{n}}} −{e}^{−\frac{{k}\pi{i}}{{n}}} }{\mathrm{2}{i}}= \\ $$$$=\frac{\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}{e}^{\frac{{k}\pi{i}}{{n}}} \right)\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \right)\right)}{\left(\mathrm{2}{i}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:}= \\ $$$$=\frac{{e}^{\frac{\pi{i}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}} }{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \left({e}^{\frac{\pi{i}}{\mathrm{2}}} \right)^{{n}−\mathrm{1}} }\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \right)= \\ $$$$=\frac{{e}^{\frac{\pi{i}}{{n}}\:\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi{i}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \right)= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }{f}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${where}\:{f}\left({x}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({x}−{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \right) \\ $$$${f}\left({x}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({x}−{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \right)=\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({x}−{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \right)}{{x}−\mathrm{1}} \\ $$$${but}\:{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \:{for}\:{k}=\mathrm{0},...,\left({n}−\mathrm{1}\right)\:{are}\:{the}\: \\ $$$${n}−{th}\:{roots}\:{of}\:{unity}. \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({x}−{e}^{−\frac{\mathrm{2}{k}\pi{i}}{{n}}} \right)={x}^{{n}} −\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{{x}^{{n}} −\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +...+{x}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{1}+...+\mathrm{1}={n} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}{sin}\left(\frac{{k}\pi}{{n}}\right)=\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$

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