Question Number 172973 by mnjuly1970 last updated on 04/Jul/22
$$ \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\:\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\:{x}^{\:\mathrm{4}} \right)\:\left(\mathrm{1}+\:{x}^{\:\mathrm{6}} \right)}{dx}=\frac{{p}\sqrt{\mathrm{2}}\:−{q}}{\mathrm{12}}\:\pi \\ $$$$\:\:\:{p}\:,\:\:{q}=? \\ $$$$ \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 04/Jul/22
![x^6 +1=(x^2 )^3 +1=(x^2 +1)(x^4 −x^2 +1) I=∫_0 ^∞ (dx/((x^4 +1)(x^2 +1)(x^4 −x^2 +1))) =∫_0 ^∞ (((x^2 +1)/(2(x^4 +1)))+(1/(6(x^2 +1)))−((2x^2 −1)/(3(x^4 −x^2 +1))))dx =(1/2)∫_0 ^∞ ((x^2 +1)/(x^4 +1))dx+(1/6)∫_0 ^∞ (dx/(x^2 +1))−(1/3)∫_0 ^∞ ((2x^2 −1)/(x^4 −x^2 +1))dx ■=arctg(x)]_0 ^∞ =(π/2) ■=∫_0 ^∞ ((x^2 +1)/((x^2 +1)^2 −2x^2 ))dx=∫_0 ^∞ ((x^2 +1)/((x^2 +(√2)x+1)(x^2 −(√2)x+1)))dx =(1/2)∫_0 ^∞ ((1/(x^2 +(√2)x+1))+(1/(x^2 −(√2)x+1)))dx =(1/2)∫_0 ^∞ (dx/((x+((√2)/2))^2 +(1/2)))+(1/2)∫_0 ^∞ (dx/((x−((√2)/2))^2 +(1/2))) =((√2)/2)[arctg(x(√2)+1)]_0 ^∞ +((√2)/2)[arctg(x(√2)−1)]_0 ^∞ =(((√2)π)/2) ■=x^4 −x^2 +1=(x^2 +1)^2 −3x^2 ∫_0 ^∞ ((2x^2 −1)/((x^2 +(√3)x+1)(x^2 −(√3)x+1)))dx =(1/(2(√3)))∫_0 ^∞ (((−3x−(√3))/(x^2 +(√3)x+1))+((3x−(√3))/(x^2 −(√3)x+1)))dx =−((√3)/2)∫_0 ^∞ (x/(x^2 +(√3)x+1))dx−(1/2)∫_0 ^∞ (dx/(x^2 +(√3)x+1))+((√3)/2)∫_0 ^∞ (x/(x^2 −(√3)x+1))dx−(1/2)∫_0 ^∞ (dx/(x^2 −(√3)x+1)) =−((√3)/2)∫_0 ^∞ (x/((x+((√3)/2))^2 +(1/4)))dx−(1/2)∫_0 ^∞ (dx/((x+((√3)/2))^2 +(1/4)))+((√3)/2)∫_0 ^∞ (x/((x−((√3)/2))^2 +(1/4)))dx−(1/2)∫_0 ^∞ (dx/((x−((√3)/2))^2 +(1/4))) =−2(√3)∫_0 ^∞ (x/((2x+(√3))^2 +1))dx−2∫_0 ^∞ (dx/((2x+(√3))^2 +1))+2(√3)∫_0 ^∞ (x/((2x−(√3))^2 +1))dx−2∫_0 ^∞ (dx/((2x−(√3))^2 +1)) u=2x±(√3)⇒du=2dx, x=((u∓(√3))/2) =−((√3)/2)∫_(√3) ^∞ ((u−(√3))/(u^2 +1))du−∫_(√3) ^∞ (du/(u^2 +1))+((√3)/2)∫_(−(√3)) ^∞ ((u+(√3))/(u^2 +1))du−∫_(−(√3)) ^∞ (du/(u^2 +1)) −((√3)/2)∫_(√3) ^∞ (u/(u^2 +1))du+(1/2)∫_(√3) ^∞ (du/(u^2 +1))+((√3)/2)∫_(−(√3)) ^∞ (u/(u^2 +1))du+(1/2)∫_(−(√3)) ^∞ (du/(u^2 +1)) −((√3)/2)∫_(√3) ^∞ (u/(u^2 +1))du+((√3)/2)∫_(−(√3)) ^∞ (u/(u^2 +1))du+(π/2) t=u^2 +1⇒dt=2udu ((−(√3))/4)∫_4 ^∞ (dt/t)+((√3)/4)∫_4 ^∞ (dt/t)+(π/2)=(π/2) ⇒I=(1/2)■+(1/6)■−(1/3)■ =(1/2)(((π(√2))/2))+(1/6)((π/2))−(1/3)((π/2)) =((π(√2))/4)−(π/(12))=((3(√2)−1)/(12))π⇒p=3, q=1](Q172988.png)
$$ \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\left.\blacksquare=\mathrm{arctg}\left(\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} =\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\blacksquare=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{arctg}\left(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{arctg}\left(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\blacksquare=\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{−\mathrm{3x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{2x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{2x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{2x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{2x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{2x}\pm\sqrt{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{2dx},\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{u}\mp\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{u}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{du}−\int_{\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{−\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{u}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{du}−\int_{−\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{u}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{du}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{−\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{u}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{du}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{u}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{du}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int_{−\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{u}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{du}+\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{dt}=\mathrm{2udu} \\ $$$$\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{4}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{4}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\blacksquare+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\blacksquare−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\blacksquare \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\pi\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}−\frac{\pi}{\mathrm{12}}=\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\pi\Rightarrow\mathrm{p}=\mathrm{3},\:\mathrm{q}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 04/Jul/22
$$\mathrm{bravo}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{bravo}.. \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 06/Jul/22
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$