Question Number 176913 by a.lgnaoui last updated on 28/Sep/22
$${Determiner}\:{la}\:{hauteur}\:\mathrm{D}{E}\left({r}+{x}\right)\:{en}\:{fonction}\:{de}\:{r} \\ $$$${r}=\mathrm{OOC}=\mathrm{BH}\:\:\:\:\:\mathrm{BF}=\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{distance}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{DE}+\mathrm{EF}\:\:\mathrm{soit}\:\right. \\ $$$$\mathrm{sgale}\:\mathrm{AC}+\mathrm{arcCDF} \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 28/Sep/22
Answered by a.lgnaoui last updated on 29/Sep/22
![tan (30)=((√3)/3)=((BH)/(BC))=(r/(BC)) ⇒BC=r(√3) ∡B=∡C AB=BC CD=r(√(2 )) DE=r+x EF=(√(x^2 +r^2 )) ABzCDEF=2r(√3) +r(√2) +r+x+(√(x^2 +r^2 )) =(2(√3) +(√2) +1)r+x+(√(x^2 +r^(2 ) )) AC+arc(CDF)=2BC×cos (30)+πr=2r(√(3 ))×((√3)/2)+πr=(3+π)r egalite des 2 trajets [2(√3) +(√(2 )) +1)r+x+(√(x^2 +r^2 )) ]=(3+π)r (√(x^2 +r^2 )) =(2+π+2(√3) −(√2) )r−x x^2 +r^2 =(2+π+2(√3) −(√2) )^2 r^2 +x^2 −2(2+π+2(√3) −(√2) )rx r=(2+π+2(√3) −(√2) )^2 r−2x(2+π−2(√3) −(√2) ) x=(1/2)[(((π+1+2(√3) −(√2) )^2 −1)/((π+2+2(√3) −(√2) )))r=3,526r BF=20=BC+CF=r(√3) +2r=((√3) +2)r r=((20)/( (√3) +2))=5,358 ⇒ x=18,89 lma hauteur h(DE=r+x)=5,358+18,89= 24,25](Q176986.png)
$$\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{30}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{BC}}\:\:\:\Rightarrow\mathrm{BC}={r}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\measuredangle{B}=\measuredangle{C}\:\:\:\:\:\:\mathrm{AB}=\mathrm{BC} \\ $$$$\mathrm{CD}=\mathrm{r}\sqrt{\mathrm{2}\:\:}\:\:\mathrm{DE}=\mathrm{r}+\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{EF}=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:} \\ $$$$\mathrm{A}{BzCDEF}=\mathrm{2}{r}\sqrt{\mathrm{3}}\:+{r}\sqrt{\mathrm{2}}\:+{r}+{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{2}} \:}\: \\ $$$$=\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right){r}+{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{2}\:} }\: \\ $$$${AC}+{arc}\left({CDF}\right)=\mathrm{2BC}×\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{30}\right)+\pi{r}=\mathrm{2}{r}\sqrt{\mathrm{3}\:}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}+\pi{r}=\left(\mathrm{3}+\pi\right){r} \\ $$$${egalite}\:{des}\:\mathrm{2}\:{trajets} \\ $$$$\left.\left[\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}\:}\:+\mathrm{1}\right){r}+{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{2}} \:}\:\right]=\left(\mathrm{3}+\pi\right){r} \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}+\pi+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right){r}−{x} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:=\left(\mathrm{2}+\pi+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} {r}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\pi+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right){rx}\:\: \\ $$$${r}=\left(\mathrm{2}+\pi+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} {r}−\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{2}+\pi−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right) \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\left(\pi+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\pi+\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)}{r}=\mathrm{3},\mathrm{526}{r}\right. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{BF}=\mathrm{20}=\mathrm{BC}+\mathrm{CF}=\mathrm{r}\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{2r}=\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{2}\right)\mathrm{r} \\ $$$$\mathrm{r}=\frac{\mathrm{20}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{2}}=\mathrm{5},\mathrm{358}\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{18},\mathrm{89} \\ $$$${lma}\:{hauteur}\:{h}\left(\mathrm{DE}=\mathrm{r}+\mathrm{x}\right)=\mathrm{5},\mathrm{358}+\mathrm{18},\mathrm{89}=\:\:\:\mathrm{24},\mathrm{25} \\ $$