Question Number 17985 by tawa tawa last updated on 13/Jul/17
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{simultaneously}. \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{35} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{4}} \:=\:\mathrm{97} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 13/Jul/17
![let u=x+y and xy=v (x+y)(x^2 +y^2 +2xy−3xy)=35 (x+y)[(x+y)^2 −3xy]=35 u(u^2 −3v)=35 v=((u^2 −((35)/u))/3)=((u^3 −35)/(3u)) (x^2 )^2 +(y^2 )^2 +2x^2 y^2 −2x^2 y^2 =97 (x^2 +y^2 )^2 −2x^2 y^2 =97 (x^2 +y^2 +2xy−2xy)^2 −2x^2 y^2 =97 ((x+y)^2 −2xy)^2 −2x^2 y^2 =97 (u^2 −2v)^2 −2v^2 =97 (u^2 −2((u^3 −35)/(3u)))^2 −2(((u^3 −35)/(3u)))^2 =97 (u^3 +70)^2 −2(u^3 −35)^2 =873u^2 u^6 +140u^3 +4900−2u^6 +140u^3 −2450=873u^2 u^6 −280u^3 +873u^2 −2450=0 ⇒u=−1.391 or 5 ⇒v=9.0322 or 6 x+y=u xy=v x^2 +y^2 −2xy+4xy=u^2 (x−y)^2 =u^2 −4v x−y=±(√(u^2 −4v)) ⇒x=((u±(√(u^2 −4v)))/2) ⇒y=((u∓(√(u^2 −4v)))/2) with u=−1.391 and v=9.0322 there is no real solution since u^2 −4v<0 with u=5 and v=6 ⇒x+y=5 ⇒x−y=±(√(25−24))=±1 ⇒x=((5±1)/2)=3,2 ⇒y=((5∓1)/2)=2,3 ⇒(x,y)=(3,2) or (2,3)](Q18005.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\:\mathrm{and}\:\mathrm{xy}=\mathrm{v} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}−\mathrm{3xy}\right)=\mathrm{35} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left[\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3xy}\right]=\mathrm{35} \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3v}\right)=\mathrm{35} \\ $$$$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{u}}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{35}}{\mathrm{3u}} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{97} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{97} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}−\mathrm{2xy}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{97} \\ $$$$\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{97} \\ $$$$\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2v}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2v}^{\mathrm{2}} =\mathrm{97} \\ $$$$\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{35}}{\mathrm{3u}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{35}}{\mathrm{3u}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{97} \\ $$$$\left(\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{70}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{35}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{873u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{140u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4900}−\mathrm{2u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{140u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2450}=\mathrm{873u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{6}} −\mathrm{280u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{873u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2450}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}=−\mathrm{1}.\mathrm{391}\:\mathrm{or}\:\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{v}=\mathrm{9}.\mathrm{0322}\:\mathrm{or}\:\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{u} \\ $$$$\mathrm{xy}=\mathrm{v} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}+\mathrm{4xy}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v} \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{y}=\pm\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{u}\pm\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{u}\mp\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{u}=−\mathrm{1}.\mathrm{391}\:\mathrm{and}\:\mathrm{v}=\mathrm{9}.\mathrm{0322} \\ $$$$\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{no}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{since} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}<\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{u}=\mathrm{5}\:\mathrm{and}\:\mathrm{v}=\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{y}=\pm\sqrt{\mathrm{25}−\mathrm{24}}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{5}\pm\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3},\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{5}\mp\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2},\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{3},\mathrm{2}\right)\:\mathrm{or}\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right) \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 13/Jul/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{i}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}. \\ $$