Question Number 18213 by chux last updated on 16/Jul/17
$$\mathrm{The}\:\mathrm{greatest}\:\mathrm{number}\:\mathrm{that}\:\mathrm{will} \\ $$$$\mathrm{divide}\:\mathrm{82}\:,\mathrm{111}\:\mathrm{and}\:\mathrm{140}\:\mathrm{leaving}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{same}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{in}\:\mathrm{each}\:\mathrm{case}\:\mathrm{is}........ \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 17/Jul/17
$$\mathrm{82}\:=\:{xa}\:+\:{r} \\ $$$$\mathrm{111}\:=\:{xb}\:+\:{r} \\ $$$$\mathrm{140}\:=\:{xc}\:+\:{r} \\ $$$${x}\left({b}\:−\:{a}\right)\:=\:\mathrm{29},\:{x}\left({c}\:−\:{b}\right)\:=\:\mathrm{29},\:{x}\left({c}\:−\:{a}\right)\:=\:\mathrm{58} \\ $$$${x}\:\mathrm{divides}\:\mathrm{both}\:\mathrm{29}\:\mathrm{and}\:\mathrm{58}.\:\mathrm{Hence}\:{x}\:=\:\mathrm{29}. \\ $$$$\mathrm{Check}:\:\frac{\mathrm{82}}{\mathrm{29}}\:=\:\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{29}} \\ $$$$\frac{\mathrm{111}}{\mathrm{29}}\:=\:\mathrm{3}\:\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{29}} \\ $$$$\frac{\mathrm{140}}{\mathrm{29}}\:=\:\mathrm{4}\:\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{29}} \\ $$