Question Number 182241 by Matica last updated on 06/Dec/22
$$\:\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\mathrm{given}\:\mathrm{a}\:\mathrm{family}\:\mathrm{of}\:\mathrm{open}\:\mathrm{interval}\:\mathrm{set}\:\left({U}_{{r}} \right)_{{r}\in\mathbb{Q}} \:\mathrm{of}\:\mathbb{R} \\ $$ $$\mathrm{that}\:\mathrm{satifies}\:\mathrm{condition}\:\forall{r}\in\mathbb{Q},\:{r}\in{U}_{{r}\:} . \\ $$ $$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{there}\:\mathrm{exists}\:\mathrm{a}\:\mathrm{family}\:\mathrm{set}\:\left({U}_{{r}} \right)_{{r}\in\mathbb{Q}} \mathrm{which}\:\mathrm{not}\:\mathrm{cover}\:\mathbb{R}\: \\ $$ $$\mathrm{or}\:\forall\varepsilon>\mathrm{0},\:\:\lambda\left(\underset{{r}\in\mathbb{Q}} {\cup}\:{U}_{{r}} \:\right)\leqslant\:\varepsilon\:. \\ $$