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Question Number 18385 by Tinkutara last updated on 19/Jul/17

Find all the integers which are equal to 11 times the sum of their digits.

$$\mathrm{Find}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{which}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{11}\:\mathrm{times}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{their}\:\mathrm{digits}. \\ $$

Answered by mrW1 last updated on 19/Jul/17

let′s see if such a number can have only one digit: sum of digits≥1 11 times sum of digits≥11 but a number with one digit is ≤9 ⇒the requested number must have at least 2 digits. let′s see if such a number can have 4 or more digits: sum of digits≤4×9=36 11 times sum of digits≤11×36=396 but a number with 4 digits is ≥1000 ⇒the requested number must have less than 4 digits. case 1: number with 2 digits let′s say it is ab 10a+b=11(a+b) 10b+a=0 ⇒no solution case 2: number with 3 digits let′s say it is abc 100a+10b+c=11(a+b+c) 89a=10c+b the only solution is: a=1 c=8 b=9 ⇒there is only one such number it is 198

$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{see}\:\mathrm{if}\:\mathrm{such}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{can}\:\mathrm{have}\:\mathrm{only} \\ $$$$\mathrm{one}\:\mathrm{digit}: \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{11}\:\mathrm{times}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\geqslant\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{one}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{is}\:\leqslant\mathrm{9} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{requested}\:\mathrm{number}\:\mathrm{must}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{2}\:\mathrm{digits}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{see}\:\mathrm{if}\:\mathrm{such}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{can}\:\mathrm{have}\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{more}\:\mathrm{digits}: \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\leqslant\mathrm{4}×\mathrm{9}=\mathrm{36} \\ $$$$\mathrm{11}\:\mathrm{times}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\leqslant\mathrm{11}×\mathrm{36}=\mathrm{396} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{4}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{is}\:\geqslant\mathrm{1000} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{requested}\:\mathrm{number}\:\mathrm{must}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\mathrm{4}\:\mathrm{digits}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}:\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{2}\:\mathrm{digits} \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{say}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{ab} \\ $$$$\mathrm{10a}+\mathrm{b}=\mathrm{11}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{10b}+\mathrm{a}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}:\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{3}\:\mathrm{digits} \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{say}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{abc} \\ $$$$\mathrm{100a}+\mathrm{10b}+\mathrm{c}=\mathrm{11}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right) \\ $$$$\mathrm{89a}=\mathrm{10c}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}: \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{9} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{such}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{198} \\ $$

Commented by Tinkutara last updated on 20/Jul/17

Thanks Sir!

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

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