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Question Number 184768 by SANOGO last updated on 11/Jan/23

Σ_(n=o) ^(+oo) (x^n /(4n^2 −1))

$$\underset{{n}={o}} {\overset{+{oo}} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$

Commented by SANOGO last updated on 11/Jan/23

merci

$${merci} \\ $$

Answered by mr W last updated on 11/Jan/23

Σ_(n=0) ^∞ x^(2n) =1+x^2 +x^4 +...=(1/(1−x^2 )) Σ_(n=0) ^∞ ∫_0 ^x x^(2n) dx=∫_0 ^x (dx/(1−x^2 )) Σ_(n=0) ^∞ (x^(2n+1) /(2n+1))=(1/2)ln ((1+x)/(1−x)) Σ_(n=0) ^∞ (x^(2n) /(2n+1))=(1/(2x))ln ((1+x)/(1−x)) replace x with (√x) ⇒Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n+1))=(1/(2(√x)))ln ((1+(√x))/(1−(√x))) Σ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /(2n−1))=(1/(2(√x)))ln ((1+(√x))/(1−(√x))) Σ_(n=1) ^∞ (x^n /(2n−1))=(x/(2(√x)))ln ((1+(√x))/(1−(√x))) Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n−1))+1=((√x)/2)ln ((1+(√x))/(1−(√x))) ⇒Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n−1))=((√x)/2)ln ((1+(√x))/(1−(√x)))−1 Σ_(n=0) ^∞ ((x^n /(2n−1))−(x^n /(2n+1)))=((√x)/2)ln ((1+(√x))/(1−(√x)))−1−(1/(2(√x)))ln ((1+(√x))/(1−(√x))) ⇒2Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(4n^2 −1))=(1/2)((√x)−(1/( (√x))))ln ((1+(√x))/(1−(√x)))−1 ⇒Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(4n^2 −1))=−(1/4)((1/( (√x)))−(√x))ln ((1+(√x))/(1−(√x)))−(1/2)

$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{\mathrm{2}{n}} =\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{4}} +...=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {x}^{\mathrm{2}{n}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{{dx}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$${replace}\:{x}\:{with}\:\sqrt{{x}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{{x}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}+\mathrm{1}=\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}−\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)=\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}\right)\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}−\sqrt{{x}}\right)\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

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