Question Number 185449 by Mastermind last updated on 22/Jan/23
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{four}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{expansion}\:\mathrm{of}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{ascending}\:\mathrm{power}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{M}.\mathrm{m} \\ $$
Answered by mr W last updated on 22/Jan/23
$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}−{x}\right)\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{C}_{\mathrm{1}} ^{{k}+\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}{k}} \underset{{r}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{r}} \frac{{x}^{\mathrm{2}{r}} }{\mathrm{2}^{{r}} } \\ $$$${x}^{\mathrm{0}} \:{term}: \\ $$$$−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}×\mathrm{1}×\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\checkmark \\ $$$${x}^{\mathrm{1}} \:{term}: \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\left(−\mathrm{1}\right)×\mathrm{1}×\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\checkmark \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:{term}: \\ $$$$−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}×\left\{\mathrm{2}×\mathrm{1}+\mathrm{1}×\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right\}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\:\checkmark \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:{term}: \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\left(−\mathrm{1}\right)×\left\{\mathrm{2}×\mathrm{1}+\mathrm{1}×\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right\}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\checkmark \\ $$$$.... \\ $$