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Question Number 187478 by normans last updated on 17/Feb/23

let a and b be positive integers such that ab + 1 divides a^2 + b^2 . show that ((a^2 + b^2 )/(ab + 1)) is the sequare of an integer.

$$\: \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{{let}}\:\boldsymbol{{a}}\:\boldsymbol{{and}}\:\boldsymbol{{b}}\:\boldsymbol{{be}}\:\boldsymbol{{positive}}\:\boldsymbol{{integers}}\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{{such}}\:\boldsymbol{{that}}\:\boldsymbol{{ab}}\:+\:\mathrm{1}\:\boldsymbol{{divides}}\:\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{2}} \:+\:\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{2}} .\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{{show}}\:\boldsymbol{{that}}\:\frac{\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{2}} \:+\:\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{2}} }{\boldsymbol{{ab}}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{is}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{sequare}}\:\boldsymbol{{of}}\:\boldsymbol{{an}}\:\boldsymbol{{integer}}. \\ $$$$ \\ $$

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 18/Feb/23

let ((a^2 +b^2 )/(ab+1))=k∈N⇒a^2 −kab+b^2 =k (I) Suppose BWOC that k is not a perfect square⇒k≥2 Also suppose WLOG that a≥b Let (a,b) be a solution of (I) with a minimal (by well ordering principle) • If a=b⇒k=((2a^2 )/(a^2 +1))=((a^2 +1+a^2 −1)/(a^2 +1))⇒a^2 +1∣a^2 −1 but a^2 −1<a^2 +1 ∴ a^2 −1=0⇒a=1⇒k=1, contradiction. • So a>b. Consider the equation: x^2 −kbx+b^2 −k=0 (★) ⇒a is solution of (★). ∃ a_1 solution of (★) ⇒a+a_1 =kb⇒a_1 =kb−a∈Z 1 case: a>kb⇒a≥kb+1 k=b^2 +a^2 −kab=b^2 +a+(a^2 −kab−a) =b^2 +a+a(a−kb−1)≥b^2 +a ⇒k≥b^2 +a>a>kb⇒k>kb⇒b<1, contradiction. 2 case: a=kb⇒a+a_1 =kb=a⇒a_1 =0 but a_1 is sol. of (★)⇒b^2 =k∴k is a perfect square contradiction. 3 case: a<kb k=b^2 +a^2 −kab=b^2 +a(a−kb)<b^2 So b^2 >k. But by (★): a.a_1 =b^2 −k>0⇒a_1 >0⇒a_1 ∈N But, 0<a_1 =((b^2 −k)/a)<^↓^(k>1) ((b^2 −1)/a)<^↓^(a>b) ((a^2 −1)/a)<a⇒a_1 <a But by (★), a_1 ^2 −ka_1 b+b^2 −k=0 ⇒(a_1 ,b) is solution of (I) with a_1 <a, contradiction because a is minimal. So k has to be a perfect square. ■

$$ \\ $$$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{ab}+\mathrm{1}}=\mathrm{k}\in\mathbb{N}\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{kab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{k}\:\left(\mathrm{I}\right) \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{BWOC}\:\mathrm{that}\:\mathrm{k}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}\Rightarrow\mathrm{k}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Also}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{WLOG}\:\mathrm{that}\:\mathrm{a}\geqslant\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{I}\right)\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}\:\mathrm{minimal}\:\left(\mathrm{by}\:\mathrm{well}\:\mathrm{ordering}\:\mathrm{principle}\right) \\ $$$$\bullet\:\mathrm{If}\:\mathrm{a}=\mathrm{b}\Rightarrow\mathrm{k}=\frac{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\mid\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}<\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\:\therefore\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{k}=\mathrm{1},\:\mathrm{contradiction}. \\ $$$$\bullet\:\mathrm{So}\:\mathrm{a}>\mathrm{b}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}:\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{kbx}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\left(\bigstar\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}\:\mathrm{is}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\left(\bigstar\right).\:\exists\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\left(\bigstar\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{kb}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{kb}−\mathrm{a}\in\mathbb{Z} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}\:\mathrm{case}:\:\mathrm{a}>\mathrm{kb}\Rightarrow\mathrm{a}\geqslant\mathrm{kb}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{kab}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}+\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{kab}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}+\mathrm{a}\left(\mathrm{a}−\mathrm{kb}−\mathrm{1}\right)\geqslant\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{k}\geqslant\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}>\mathrm{a}>\mathrm{kb}\Rightarrow\mathrm{k}>\mathrm{kb}\Rightarrow\mathrm{b}<\mathrm{1},\:\mathrm{contradiction}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{case}:\:\mathrm{a}=\mathrm{kb}\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{kb}=\mathrm{a}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{sol}.\:\mathrm{of}\:\left(\bigstar\right)\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{k}\therefore\mathrm{k}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square} \\ $$$$\mathrm{contradiction}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}\:\mathrm{case}:\:\mathrm{a}<\mathrm{kb} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{kab}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}\left(\mathrm{a}−\mathrm{kb}\right)<\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} >\mathrm{k}.\:\mathrm{But}\:\mathrm{by}\:\left(\bigstar\right):\:\mathrm{a}.\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{k}>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} >\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{But},\:\mathrm{0}<\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{k}}{\mathrm{a}}\overset{\overset{\mathrm{k}>\mathrm{1}} {\downarrow}} {<}\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\overset{\overset{\mathrm{a}>\mathrm{b}} {\downarrow}} {<}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}}<\mathrm{a}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} <\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{by}\:\left(\bigstar\right),\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{ka}_{\mathrm{1}} \mathrm{b}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{k}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{b}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{I}\right)\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} <\mathrm{a},\:\mathrm{contradiction} \\ $$$$\mathrm{because}\:\mathrm{a}\:\mathrm{is}\:\mathrm{minimal}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{k}\:\mathrm{has}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}.\:\blacksquare \\ $$

Commented by normans last updated on 19/Feb/23

very nice

$${very}\:{nice}\: \\ $$

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