Question Number 191028 by Mingma last updated on 16/Apr/23
Answered by Frix last updated on 16/Apr/23
$$\mathrm{Not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{but}\:\mathrm{an}\:\mathrm{idea}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{proof}: \\ $$$$\left({n}−\mathrm{1}\right){n}\left({n}+\mathrm{1}\right)×{N}={k}^{\mathrm{3}} ;\:{k}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{gcd}\:\left({n}−\mathrm{1},\:{n}\right)\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{gcd}\:\left({n},\:{n}+\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}.\:\mathrm{gcd}\:\left({n}−\mathrm{1},\:{n}+\mathrm{1}\right)\:\in\left\{\mathrm{1},\:\mathrm{2}\right\} \\ $$$$\Rightarrow\:\left({n}−\mathrm{1}\right){n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{cube} \\ $$$$\Rightarrow\:{N}\:\mathrm{must}\:\mathrm{have}\:\mathrm{enough}\:\mathrm{prime}\:\mathrm{factors}\:\mathrm{to} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{complete}\:\mathrm{the}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{cube}.\:\mathrm{Obviously} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{impossible}\:\mathrm{for}\:{N}={n}\pm\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Let}\:{N}\in\mathbb{N}\:\mathrm{the}\:\mathrm{necessary}\:\mathrm{factor}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:{k}^{\mathrm{3}} \\ $$$${n}=\mathrm{2}\:\:\:\:\:{N}=\mathrm{36} \\ $$$${n}=\mathrm{3}\:\:\:\:\:{N}=\mathrm{9} \\ $$$${n}=\mathrm{4}\:\:\:\:\:{N}=\mathrm{450} \\ $$$${n}=\mathrm{5}\:\:\:\:\:{N}=\mathrm{225} \\ $$$${n}=\mathrm{6}\:\:\:\:\:{N}=\mathrm{44100} \\ $$$${n}=\mathrm{7}\:\:\:\:\:{N}=\mathrm{1764} \\ $$$${n}=\mathrm{8}\:\:\:\:\:{N}=\mathrm{147} \\ $$$$... \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 16/Apr/23
![soient a ( a+1) ( a+2) et( a+3) les 4 nombres entiers successives alirs a^4 +6a^3 +11a^2 +6a=a^3 (a+6+((11)/a)+(6/a^3 )) on remarque que ((11)/a)+(6/a^3 )=(1/a)(11+(6/a^2 )) E=a^3 [a+6+(1/a)(11+(6/a^2 ))] max valdur possible (a=1) (7+17)a^3 n est[pas cube parfait ( 2a)^3 < 24a^3 <(3a)^3 donc ∄ a / a∈N pour lequel a(a+1)(a+2)(a+3) est cube parfait •2− suposons que a+1=𝛌^3 alors a=λ^3 −1 =(λ−1)(λ^2 +λ+1) n est pa un cube parfait meme cas pour a+2 et a+3 respectivement par consequent ⇒∃ ! un terme a_i /a_i ^3 non cube parfait 1<i<4 Π_(i=1) ^(i=4) a_i (a_(i+1) =a_i +1 entier): n est pas cube parfait alors le priduit de 4 entiers successives ne peut pas etre un cube parfait](Q191043.png)
$$\mathrm{soient}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:\:\left(\:\boldsymbol{\mathrm{a}}+\mathrm{1}\right)\:\left(\:\boldsymbol{\mathrm{a}}+\mathrm{2}\right)\:\mathrm{et}\left(\:\boldsymbol{\mathrm{a}}+\mathrm{3}\right)\:\mathrm{les}\:\mathrm{4}\:\mathrm{nombres} \\ $$$$\mathrm{entiers}\:\mathrm{successives} \\ $$$$\mathrm{alirs}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6}\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{11}\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\boldsymbol{\mathrm{a}}=\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{3}} \left(\boldsymbol{\mathrm{a}}+\mathrm{6}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{remarque}\:\mathrm{que}\:\:\:\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\left(\mathrm{11}+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\mathrm{E}=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \left[\mathrm{a}+\mathrm{6}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\left(\mathrm{11}+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right)\right] \\ $$$$\mathrm{max}\:\mathrm{valdur}\:\mathrm{possible}\:\left(\mathrm{a}=\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{7}+\mathrm{17}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \:\:\mathrm{n}\:\mathrm{est}\left[\mathrm{pas}\:\mathrm{cube}\:\mathrm{parfait}\right. \\ $$$$\:\:\:\:\left(\:\mathrm{2a}\right)^{\mathrm{3}} <\:\:\mathrm{24a}^{\mathrm{3}} <\left(\mathrm{3a}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\:\:\nexists\:\:\mathrm{a}\:/\:\:\mathrm{a}\in\mathbb{N}\:\:\:\mathrm{pour}\:\mathrm{lequel}\: \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{3}\right)\:\:\:\mathrm{est}\:\mathrm{cube}\:\mathrm{parfait} \\ $$$$\bullet\mathrm{2}−\:\:\mathrm{suposons}\:\mathrm{que}\:\mathrm{a}+\mathrm{1}=\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\mathrm{alors}\:\:\:\mathrm{a}=\lambda^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\:\:=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\left(\lambda^{\mathrm{2}} +\lambda+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{n}\:\mathrm{est}\:\mathrm{pa}\:\mathrm{un}\:\mathrm{cube}\:\mathrm{parfait}\:\: \\ $$$$\mathrm{meme}\:\mathrm{cas}\:\:\mathrm{pour}\:\:\mathrm{a}+\mathrm{2}\:\mathrm{et}\:\:\mathrm{a}+\mathrm{3}\:\:\mathrm{respectivement} \\ $$$$\mathrm{par}\:\mathrm{consequent}\: \\ $$$$\Rightarrow\exists\:!\:\mathrm{un}\:\mathrm{terme}\:\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \:\:\:/\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{3}} \:\:\mathrm{non}\:\mathrm{cube}\:\mathrm{parfait} \\ $$$$\mathrm{1}<\mathrm{i}<\mathrm{4}\:\:\prod_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{i}=\mathrm{4}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}} \:\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{i}} +\mathrm{1}\:\:\mathrm{entier}\right):\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\boldsymbol{\mathrm{est}}\:\boldsymbol{\mathrm{pas}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{cube}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{parfait}}\:\:\: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{alors}}\: \\ $$$$\mathrm{le}\:\mathrm{priduit}\:\mathrm{de}\:\mathrm{4}\:\mathrm{entiers}\:\mathrm{successives}\:\mathrm{ne} \\ $$$$\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\:\:\mathrm{etre}\:\mathrm{un}\:\mathrm{cube}\:\mathrm{parfait} \\ $$