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Question Number 191342 by mnjuly1970 last updated on 23/Apr/23

calculate... Ω ={ ∫_0 ^( (π/4)) ( 1 + (√3) sin(x) + cos(x) )^( n) dx}^(1/n) = ?

$$ \\ $$$$\:\:\:\:{calculate}... \\ $$$$\:\Omega\:=\left\{\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \left(\:\:\mathrm{1}\:+\:\sqrt{\mathrm{3}}\:{sin}\left({x}\right)\:+\:{cos}\left({x}\right)\:\right)^{\:{n}} {dx}\right\}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} =\:? \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Answered by witcher3 last updated on 24/Apr/23

∫(1+(√3)sin(x)+cos(x))^n dx (√3)sin(x)+cos(x)=2sin(x+(π/6)),y=x+(π/6)=g(x) ⇔∫(1+2sin(y))^n dy= let w=sin(y) ⇔∫(((1+2w)^n )/( (√(1−w^2 ))))dw,t=1+2w⇒w=((t−1)/2) =∫(t^n /( (√((1−(((t−1)/2))^2 )))),(dt/2) =(1/2)∫t^n (((3−t)/2))^(−(1/2)) (((t+1)/2))^(−(1/2)) dt let F(s)=(1/2)∫_0 ^s t^n (((3−t)/2))^(−(1/2)) (((t+1)/2))^(−(1/2)) dt t=sz⇒dt=sdz f(s)=(1/( (√3)))s^(n+1) ∫_0 ^1 z^n (1−((sz)/3))^(−(1/2)) (1+sz)^(−(1/2)) dz We have F_1 (a;b,c;d;x;y).((Γ(a)Γ(d−a))/(Γ(d)))=∫_0 ^1 u^(a−1) (1−u)^(d−a−1) (1−ux)^(−b) (1−uy)^(−c) du Hypergeomtric Functiom of Two variable f(s)=(s^(n+1) /( (√3))).((Γ(n+1)Γ(1))/(Γ(n+2))).F_1 (n+1;(1/2),(1/2);n+2;(s/3);−s) g(x)=(((1+(√3)sin(x)+cos(x))^(n+1) )/((n+1)(√3)))F_1 (n+1;(1/2),(1/2);n+2;−2sin(x+(π/6))−1;(1/3)(2sin(x+(π/6))+1))+c ∫_0 ^(π/4) (1+(√3)sin(x)+cos(x))^n dx=g((π/4))−g(0) long expression =(1/((n+1)(√3))){((√(2+(√3)))+1)^(n+1) F_1 (n+1;(1/2),(1/2);n+2;−(1+(√((√3)+2)));((1+(√((√3)+2)))/3)) −2^(n+1) F_1 (n+1;(1/2),(1/2);n+2;−2,(2/3))}

$$\int\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{dx} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right),\mathrm{y}=\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{6}}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{y}\right)\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{dy}= \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{w}=\mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\int\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2w}\right)^{\mathrm{n}} }{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{w}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dw},\mathrm{t}=\mathrm{1}+\mathrm{2w}\Rightarrow\mathrm{w}=\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\:\sqrt{\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \right.}},\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{3}−\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{s}} \mathrm{t}^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{3}−\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{sz}\Rightarrow\mathrm{dt}=\mathrm{sdz} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{s}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{z}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{sz}}{\mathrm{3}}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sz}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{dz} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{F}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{a};\mathrm{b},\mathrm{c};\mathrm{d};\mathrm{x};\mathrm{y}\right).\frac{\Gamma\left(\mathrm{a}\right)\Gamma\left(\mathrm{d}−\mathrm{a}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{d}\right)}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{u}^{\mathrm{a}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)^{\mathrm{d}−\mathrm{a}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{ux}\right)^{−\mathrm{b}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{uy}\right)^{−\mathrm{c}} \mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{Hypergeomtric}\:\mathrm{Functiom}\:\mathrm{of}\:\mathrm{Two}\:\mathrm{variable} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{\mathrm{s}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{3}}}.\frac{\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}.\mathrm{F}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1};\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\mathrm{n}+\mathrm{2};\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{3}};−\mathrm{s}\right) \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{F}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1};\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\mathrm{n}+\mathrm{2};−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)−\mathrm{1};\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)+\mathrm{1}\right)\right)+{c} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{dx}=\mathrm{g}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)−\mathrm{g}\left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{long}\:\mathrm{expression} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\left(\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} {F}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1};\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\mathrm{n}+\mathrm{2};−\left(\mathrm{1}+\sqrt{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}}\right);\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}\right)\right. \\ $$$$\left.−\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} {F}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1};\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\mathrm{n}+\mathrm{2};−\mathrm{2},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\right\} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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