Question Number 192893 by mnjuly1970 last updated on 30/May/23
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{Q}\::\:\mathrm{Find}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{dividing} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{number}\:\mathrm{by}\:\:\mathrm{7}\:. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{N}\:=\:\mathrm{3}^{\:\mathrm{10}^{\:\mathrm{1}} } \:+\:\mathrm{3}^{\:\mathrm{10}^{\:\mathrm{2}} \:} \:+\:\mathrm{3}^{\:\mathrm{10}^{\:\mathrm{3}} \:} \:+\:...\:+\:\mathrm{3}^{\:\mathrm{10}^{\:\mathrm{10}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...\:\:\:@\:\mathrm{nice}\:−\:\mathrm{mathematics}\:... \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Answered by leodera last updated on 30/May/23
$$\mathrm{10}^{{n}} \:\equiv\:\mathrm{0}\:{mod}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{10}^{{n}} \:\equiv\:\mathrm{1}\:{mod}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$ \\ $$$${using}\:\:{C}.{R}.{T} \\ $$$$\mathrm{10}^{{n}} \:=\:\mathrm{4}\:{mod}\left(\mathrm{6}\right) \\ $$$$ \\ $$$${a}^{\Phi\left(\mathrm{7}\right)} \:\equiv\:{a}^{\mathrm{6}} \:\equiv\:\mathrm{1}\:{mod}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{10}^{{n}} \:} \:\equiv\:\mathrm{3}^{\left(\mathrm{10}^{{n}} \:{mod}\left(\mathrm{6}\right)\right)} \:\equiv\:\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \:\equiv\:\mathrm{4}\:{mod}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{10}^{\mathrm{1}} \:} +\:\mathrm{10}^{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} } \:+\:......\:+\:\mathrm{3}^{\mathrm{10}^{\mathrm{10}} } \:\equiv\:\underbrace{\mathrm{4}+\mathrm{4}+..\underset{\mathrm{10}\:{times}} {.}.......+\mathrm{4}}\:{mod}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$\equiv\:\mathrm{4}×\mathrm{10}\:\equiv\:\mathrm{5}\:{mod}\:\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$${the}\:{remainder}\:{is}\:\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$