Question Number 198018 by obia last updated on 07/Oct/23
Answered by a.lgnaoui last updated on 08/Oct/23
![Z=(√3) +1+ i((√3) −1) •1): Z^2 =4+2(√3) −(4−2(√3) )+2i((√3) +1)((√3) − 1) =4(√3) +4i =4((√3) +i) 8(((√3)/2)+(1/2)i) =8(cos (𝛑/6)+ isin (𝛑/6)) ⇒Module (Z^2 )=8 Argument=(𝛑/6)[2𝛑] •2): Module de Z ese alors : 2(√2) et argument de Z=(𝛑/(12))+k𝛑 soit: Z=2(√2) (cos (𝛑/(12))+isin (𝛑/(12))) Z^2 =8[(cos^2 (𝛑/(12))−sin^2 (𝛑/(12)))+i(2sin (𝛑/(12))cos (𝛑/(12))) ⇒ { ((8(2cos^2 (𝛑/(12))−1)=((√3)/2))),((16sin (𝛑/(12))cos (π/(12))=(1/2))) :} •3): cos (𝛑/(12)) et sin (𝛑/(12)) sont deduites de: ⇒ { ((cos (π/(12)) = ((√((√6) +16(√2)))/8))),((sin (𝛑/(12))= (1/8)(√(64−((√6) +16(√2))) ))) :} •4):Resolution de l equation: ((√3) +1)cos x+((√3) −1)sin x=(√2) − methode de tangente cos x[((√3) +1)+((√3) −1)tan x=(√2) ((√3) +1)+((√3) −1)tan x=((√2)/(cos x)) (1/(cos^2 x))=1+tan^2 x ⇒ (1/(cos x))=(√(1+tan^2 x^2 )) ⇒ ((√3) +1)+ ((√3) −1) tan x=(√(2(1+tan^2 x))) posins t=tan x ((√3) +1)^2 +((√3) −1)^2 t^2 +4t=2t^2 +2 (2−2(√3) )t^2 +4t +(2+2(√3) ) =0 t^2 −(((2+(√3) )t)/2)−2−(√3) =0 △=((4+3+4(√3))/4)+8+4(√3) =((7+32+20(√3))/4)=((39+4(√3))/4) x=((2+(√3))/4)±((√(39+4(√3)))/4)=((1/2)+((√3)/2))±((√(39+4(√3)))/4) { ((t_1 =((2+(√3))/4) −((√(39+4(√3)))/4))),((t_2 =((2+(√3))/4) +((√(39+4(√3)))/4))) :} Calcul de x tan x_1 =((2+(√3))/4)+((√(39+4(√3)))/4)=2,62727 x_1 ≈69 , t_2 =−0,7612 x_2 =−37°=](Q198019.png)
$$\boldsymbol{\mathrm{Z}}=\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}+\:\boldsymbol{\mathrm{i}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left.\bullet\mathrm{1}\right):\:\:\boldsymbol{\mathrm{Z}}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\:−\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{i}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\:\:+\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{i}}\:\:=\mathrm{4}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\boldsymbol{\mathrm{i}}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{8}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{i}}\right)\:\:\:=\mathrm{8}\left(\mathrm{cos}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{6}}+\:\boldsymbol{\mathrm{i}}\mathrm{sin}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{Module}}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{Z}}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{8}\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Argument}}=\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{6}}\left[\mathrm{2}\boldsymbol{\pi}\right] \\ $$$$\left.\bullet\mathrm{2}\right):\:\:\boldsymbol{\mathrm{Module}}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{de}}\:\boldsymbol{\mathrm{Z}}\:\boldsymbol{\mathrm{ese}}\:\boldsymbol{\mathrm{alors}}\::\:\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{et}}\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{argument}}\:\boldsymbol{\mathrm{de}}\:\boldsymbol{\mathrm{Z}}=\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}+\mathrm{k}\boldsymbol{\pi} \\ $$$$\mathrm{soit}:\:\boldsymbol{\mathrm{Z}}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{cos}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}+\boldsymbol{\mathrm{i}}\mathrm{sin}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Z}}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8}\left[\left(\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}\right)+\boldsymbol{\mathrm{i}}\left(\mathrm{2sin}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}\mathrm{cos}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}\right)\right. \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}−\mathrm{1}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{16sin}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{12}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\left.\bullet\mathrm{3}\right):\:\:\mathrm{cos}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}\:\:\:\mathrm{et}\:\mathrm{sin}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{deduites}\:\mathrm{de}:\: \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{12}}\:=\:\frac{\sqrt{\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{16}\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{8}}}\\{\left.\mathrm{sin}\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{12}}=\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\sqrt{\mathrm{64}−\left(\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{16}\sqrt{\mathrm{2}}\right.}\:\right)}\end{cases} \\ $$$$\left.\bullet\mathrm{4}\right):\boldsymbol{{Resolution}}\:\boldsymbol{{de}}\:\boldsymbol{{l}}\:\boldsymbol{{equation}}: \\ $$$$\:\:\:\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:\:+\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}+\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:−\:\:\boldsymbol{{methode}}\:\boldsymbol{{de}}\:\boldsymbol{{tangente}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}\right)+\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{2}}\right. \\ $$$$\:\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}\right)+\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{cos}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}}=\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}\:^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\:\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}\right)+\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)\:\:\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}\right)}\: \\ $$$$\mathrm{posins}\:\boldsymbol{\mathrm{t}}=\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}} \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{t}}=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\:\right)\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{t}}\:+\left(\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)\:=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} −\frac{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\:=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\bigtriangleup=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{3}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}+\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{7}+\mathrm{32}+\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{39}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{39}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{4}}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\pm\frac{\sqrt{\mathrm{39}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\begin{cases}{\boldsymbol{\mathrm{t}}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\:\:−\frac{\sqrt{\mathrm{39}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{4}}}\\{\boldsymbol{\mathrm{t}}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{39}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{4}}}\end{cases} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Calcul}}\:\boldsymbol{\mathrm{de}}\:\boldsymbol{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}+\frac{\sqrt{\mathrm{39}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{4}}=\mathrm{2},\mathrm{62727} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \approx\mathrm{69} \\ $$$$,\:\:\:\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{0},\mathrm{7612}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{37}°= \\ $$$$ \\ $$