Question Number 200415 by Mingma last updated on 18/Nov/23
Answered by witcher3 last updated on 18/Nov/23
![⇔lim_(h→0) (−((f(x)−f(x−h))/(x−(x−h))))=−f′(x) ⇔−f′′(x)=Σ_(n≥1) ((f^((n)) (0)x^n )/(n!)) =f(x)−f(0)=−f′′(x) ⇔f′′(x)+f(x)=f(0)⇒f′′(0)=0 ⇒f(x)=f(0)+acos(x)+bsin(x) f′(x)=bcos(x)−asin(x) f′(0)=b f′′(0)=−a=0 f(x)=f(0)+bsin(x) f^2 (0)+(b)^2 =4(b−1) b^2 −4b+4+f^2 (0)=0 (b−2)^2 +f^2 (0)=0 b=2;f(0)=0 ⇒f(x)=2sin(x) f is uniforlmly continus in R cause periodic and continus in [0,2π] ⇒uniformly continus](Q200439.png)
$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(−\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{h}\right)}{\mathrm{x}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{h}\right)}\right)=−\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\Rightarrow\mathrm{f}''\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{acos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{bsin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{bcos}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{f}''\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{a}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{bsin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)+\left(\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\left(\mathrm{b}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4b}+\mathrm{4}+\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{b}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{2};\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{uniforlmly}\:\mathrm{continus}\:\mathrm{in}\:\mathbb{R}\:\mathrm{cause}\:\mathrm{periodic}\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{continus}\:\mathrm{in}\:\left[\mathrm{0},\mathrm{2}\pi\right]\:\Rightarrow\mathrm{uniformly}\:\mathrm{continus} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Mingma last updated on 19/Nov/23
Perfect ��