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Question Number 22372 by Rasheed.Sindhi last updated on 16/Oct/17

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 16/Oct/17

Question asked by Mr. Tinkutara. reposted for answer.

$$\mathrm{Question}\:\mathrm{asked}\:\mathrm{by}\:\mathrm{Mr}.\:\mathrm{Tinkutara}. \\ $$$$\mathrm{reposted}\:\mathrm{for}\:\mathrm{answer}. \\ $$

Commented by Tinkutara last updated on 16/Oct/17

It is Q. 19634. I have solution but I did not get understand.

$$\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\mathrm{Q}.\:\mathrm{19634}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{have}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{but}\:\mathrm{I}\:\mathrm{did} \\ $$$$\mathrm{not}\:\mathrm{get}\:\mathrm{understand}. \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 16/Oct/17

Pl post your answer.

$$\mathrm{Pl}\:\mathrm{post}\:\mathrm{your}\:\mathrm{answer}. \\ $$

Commented by Tinkutara last updated on 16/Oct/17

Posted it in original post.

$$\mathrm{Posted}\:\mathrm{it}\:\mathrm{in}\:\mathrm{original}\:\mathrm{post}. \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Oct/17

Formula: lcm(p^a .q^b .r^c , p^d .q^e .r^f )=p^g .q^h .r^i ⇒a,d≤g ; b,e≤h ; c,f≤i −−−−−−−−−−−−− 72=2^3 .3^2 , 900=2^2 .3^2 .5^2 , 600=2^3 .3.5^2 Let x=2^m .3^n .5^0 ,y=2^s .3^t .5^0 ,z=2^u .3^v .5^w ^• lcm(x,y) =lcm(2^m .3^n .5^0 ,2^s .3^t .5^0 )=2^3 .3^2 .5^0 ⇒m,s≤3 ; n,t≤2;max(m,s)=3,max(n,t)=2....(i) ^• lcm(y,z) =lcm(2^s .3^t .5^0 ,2^u .3^v .5^w )=2^2 .3^2 .5^2 ⇒s,u≤2,t,v≤2,w≤2;max(0,w)=2,max(s,u)=2...(ii) ^• lcm(x,z) =lcm(2^m .3^n .5^0 ,2^u .3^v .5^w )=2^3 .3.5^2 ⇒m,u≤3;n,v≤1;w≤2..............(iii) (i) & (ii) s≤3 ∧ s≤2⇒s≤2...................(iv) (i) & (iv): max(m,s)=3 ∧ s≤2⇒m=3 (ii): w≤2 ∧ max(0,w)=2⇒w=2 (i) & (iii):n≤2 ∧ n≤1⇒n≤1.........(v) (i)&(v):max(n,t)=2 ∧ n≤1⇒t=2 (ii)&(iv):max(s,u)=2∧s≤2⇒u≤2 So now, x=2^(m=3) .3^(n≤1) .5^0 ,y=2^(s≤2) .3^(t=2) .5^0 ,z=2^(u≤2) .3^(v≤1) .5^2 x=2^3 .3^(0,1) ,y=2^(0,1,2) .3^2 , z=2^(0,1,2) .3^(0,1) .5^2 ∵lcm(2^(0,1,2) .3^2 ,2^(0,1,2) .3^(0,1) .5^2 )=2^2 .3^2 .5^2 y z 2^0 →2^2 1 way 2^1 →2^2 1 way 2^2 → 2^(0,1,2) 3 ways Total ways for power of 2=5 ∵lcm(2^3 .3^(0,1) ,2^(0,1,2) .3^(0,1) .5^2 )=2^3 .3.5^2 x z 3^0 →3^1 1 way 3^1 →3^(0,1) 2 ways Total ways for power of 3=3 ∴ Number of required triplets 5×3=15

$$\mathrm{Formula}: \\ $$$$\:\:\mathrm{lcm}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{a}} .\mathrm{q}^{\mathrm{b}} .\mathrm{r}^{\mathrm{c}} \:,\:\mathrm{p}^{\mathrm{d}} .\mathrm{q}^{\mathrm{e}} .\mathrm{r}^{\mathrm{f}} \right)=\mathrm{p}^{\mathrm{g}} .\mathrm{q}^{\mathrm{h}} .\mathrm{r}^{\mathrm{i}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{a},\mathrm{d}\leqslant\mathrm{g}\:;\:\mathrm{b},\mathrm{e}\leqslant\mathrm{h}\:;\:\mathrm{c},\mathrm{f}\leqslant\mathrm{i} \\ $$$$−−−−−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{72}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \:,\:\mathrm{900}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{600}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}.\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}=\mathrm{2}^{\mathrm{m}} .\mathrm{3}^{\mathrm{n}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{s}} .\mathrm{3}^{\mathrm{t}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{z}=\mathrm{2}^{\mathrm{u}} .\mathrm{3}^{\mathrm{v}} .\mathrm{5}^{\mathrm{w}} \\ $$$$\:^{\bullet} \:\mathrm{lcm}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{lcm}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{m}} .\mathrm{3}^{\mathrm{n}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{s}} .\mathrm{3}^{\mathrm{t}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{m},\mathrm{s}\leqslant\mathrm{3}\:;\:\mathrm{n},\mathrm{t}\leqslant\mathrm{2};\mathrm{max}\left(\mathrm{m},\mathrm{s}\right)=\mathrm{3},\mathrm{max}\left(\mathrm{n},\mathrm{t}\right)=\mathrm{2}....\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{lcm}\left(\mathrm{y},\mathrm{z}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{lcm}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{s}} .\mathrm{3}^{\mathrm{t}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{u}} .\mathrm{3}^{\mathrm{v}} .\mathrm{5}^{\mathrm{w}} \right)=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{s},\mathrm{u}\leqslant\mathrm{2},\mathrm{t},\mathrm{v}\leqslant\mathrm{2},\mathrm{w}\leqslant\mathrm{2};\mathrm{max}\left(\mathrm{0},\mathrm{w}\right)=\mathrm{2},\mathrm{max}\left(\mathrm{s},\mathrm{u}\right)=\mathrm{2}...\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{lcm}\left(\mathrm{x},\mathrm{z}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{lcm}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{m}} .\mathrm{3}^{\mathrm{n}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{u}} .\mathrm{3}^{\mathrm{v}} .\mathrm{5}^{\mathrm{w}} \right)=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}.\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{m},\mathrm{u}\leqslant\mathrm{3};\mathrm{n},\mathrm{v}\leqslant\mathrm{1};\mathrm{w}\leqslant\mathrm{2}..............\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\&\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{s}\leqslant\mathrm{3}\:\wedge\:\mathrm{s}\leqslant\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{s}\leqslant\mathrm{2}...................\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\&\:\left(\mathrm{iv}\right): \\ $$$$\mathrm{max}\left(\mathrm{m},\mathrm{s}\right)=\mathrm{3}\:\wedge\:\mathrm{s}\leqslant\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right):\:\mathrm{w}\leqslant\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{max}\left(\mathrm{0},\mathrm{w}\right)=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{w}=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\&\:\left(\mathrm{iii}\right):\mathrm{n}\leqslant\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{n}\leqslant\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{n}\leqslant\mathrm{1}.........\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\&\left(\mathrm{v}\right):\mathrm{max}\left(\mathrm{n},\mathrm{t}\right)=\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{n}\leqslant\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{t}=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\&\left(\mathrm{iv}\right):\mathrm{max}\left(\mathrm{s},\mathrm{u}\right)=\mathrm{2}\wedge\mathrm{s}\leqslant\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{u}\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{now}, \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2}^{\mathrm{m}=\mathrm{3}} .\mathrm{3}^{\mathrm{n}\leqslant\mathrm{1}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{s}\leqslant\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{t}=\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{z}=\mathrm{2}^{\mathrm{u}\leqslant\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{v}\leqslant\mathrm{1}} .\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}^{\mathrm{0},\mathrm{1}} ,\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{z}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{0},\mathrm{1}} .\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\because\mathrm{lcm}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{0},\mathrm{1}} .\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{y}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{z} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\mathrm{way} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{1}} \rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\mathrm{way} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} \:\mathrm{3}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{Total}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\mathrm{power}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}=\mathrm{5} \\ $$$$\because\mathrm{lcm}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}^{\mathrm{0},\mathrm{1}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{0},\mathrm{1}} .\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}.\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{z} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{0}} \rightarrow\mathrm{3}^{\mathrm{1}} \:\:\:\:\mathrm{1}\:\mathrm{way} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{1}} \rightarrow\mathrm{3}^{\mathrm{0},\mathrm{1}} \:\:\:\mathrm{2}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{Total}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\mathrm{power}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}=\mathrm{3} \\ $$$$\therefore\:\:\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{required}\:\mathrm{triplets}\:\mathrm{5}×\mathrm{3}=\mathrm{15} \\ $$

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