Question Number 25173 by NECx last updated on 05/Dec/17
$${Show}\:{that}\:{for}\:{all}\:{n}\epsilon{N}−\left\{\mathrm{0}\right\}\: \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\:{is}\:{an}\:{integer}\:\:{multiple}\:{of} \\ $$$$\mathrm{8}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 05/Dec/17
$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{8}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{8}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} −^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} {C}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{8}\right)^{\mathrm{2}{n}} +...+^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} {C}_{\mathrm{2}{n}} \left(\mathrm{8}\right) \\ $$$$=\mathrm{8}{m}\:\:. \\ $$
Commented by NECx last updated on 06/Dec/17
$${please}\:{can}\:{it}\:{be}\:{proven}\:{by}\:{P}.{M}.{I} \\ $$$${i}\:{would}\:{like}\:{to}\:{see}\:{that}\:{used}. \\ $$$$ \\ $$$${Thanks}. \\ $$
Commented by jota+ last updated on 06/Dec/17
$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{8}× \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}=\mathrm{344}=\mathrm{8}× \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{8}×\:\:\:\:\:{hipotesis} \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{7}^{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{7}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{8}×\right)\:\:\: \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}} +\mathrm{48}+\mathrm{1}=\mathrm{8}× \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{8}×−\mathrm{48}=\mathrm{8}× \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$