Question Number 37348 by math khazana by abdo last updated on 12/Jun/18 | ||
$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\:\:\:\:\frac{{dt}}{{p}\:+{cost}}\:\:{with}\:{p}>\mathrm{1} \\ $$ | ||
Commented byprof Abdo imad last updated on 13/Jun/18 | ||
$${I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\:\frac{{dt}}{{p}+{cost}}\:+\:\int_{\pi} ^{\mathrm{2}\pi} \:\:\frac{{dt}}{{p}\:+{cost}}\:={K}\:+{H} \\ $$ $${changement}\:{tan}\left(\frac{{t}}{\mathrm{2}}\right)={x}\:{give}\: \\ $$ $${K}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{p}\:+\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:\:\frac{\mathrm{2}{dx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{{dx}}{{p}+{px}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$=\:\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\:\frac{{dx}}{{p}+\mathrm{1}\:+\left({p}−\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2}}{{p}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+\frac{{p}−\mathrm{1}}{{p}+\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $${chang}.\sqrt{\frac{{p}−\mathrm{1}}{{p}+\mathrm{1}}}\:{x}={u}\:{give} \\ $$ $${K}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{{p}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\:\sqrt{\frac{{p}+\mathrm{1}}{{p}−\mathrm{1}}}{du} \\ $$ $$=\:\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:.\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\pi}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:. \\ $$ $${changement}\:{t}=\pi\:+{x}\:{give} \\ $$ $${H}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\:\:\:\:\:\frac{{dx}}{{p}−{cosx}}\:=_{{tan}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)={t}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{p}−\frac{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}\:\frac{\mathrm{2}{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}{dt}}{{p}\:+{pt}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {} \\ $$ $$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{2}{dt}}{{p}−\mathrm{1}\:+\left({p}+\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{2}} }\:\:=\frac{\mathrm{2}}{{p}−\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+\frac{{p}+\mathrm{1}}{{p}−\mathrm{1}}{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$=_{\sqrt{\frac{{p}+\mathrm{1}}{{p}−\mathrm{1}}}\:{t}={u}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{{p}−\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\:\sqrt{\frac{{p}−\mathrm{1}}{{p}+\mathrm{1}}}\:{du} \\ $$ $$=\:\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:.\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\:=\:\frac{\pi}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$ $${I}\:=\:\:\frac{\pi}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}}}\:+\frac{\pi}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\: \\ $$ $${I}\:=\frac{\mathrm{2}\pi}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:\:\:{with}\:{p}>\mathrm{1}\:. \\ $$ | ||
Commented byprof Abdo imad last updated on 13/Jun/18 | ||
$${Residus}\:{method} \\ $$ $${changement}\:{e}^{{it}} ={z}\:{give} \\ $$ $${I}\:=\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{p}\:+\frac{{z}+{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}}\:\frac{{dz}}{{iz}} \\ $$ $$=\:\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\frac{−\mathrm{2}{idz}}{{z}\left(\mathrm{2}{p}\:+{z}+{z}^{−\mathrm{1}} \right)}\:=\:\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\frac{−\mathrm{2}{idz}}{\mathrm{2}{pz}\:+{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$ $$=\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\frac{−\mathrm{2}{idz}}{{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{pz}\:+\mathrm{1}}\:\:{let}\:\varphi\left({z}\right)\:=\:\frac{−\mathrm{2}{i}}{{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{pz}\:+\mathrm{1}} \\ $$ $${poles}\:{of}\:\varphi? \\ $$ $$\Delta^{'} \:={p}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{z}_{\mathrm{1}} =−{p}\:+\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$ $${z}_{\mathrm{2}} =−{p}−\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$ $$\mid{z}_{\mathrm{1}} \mid−\mathrm{1}\:={p}−\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}\:={p}−\mathrm{1}\:−\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$ $$\left({p}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:−\left({p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:={p}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}{p}\:+\mathrm{1}\:−{p}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\: \\ $$ $$=−\mathrm{2}{p}+\mathrm{2}\:=−\mathrm{2}\left({p}−\mathrm{1}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid{z}_{\mathrm{1}} \mid<\mathrm{1} \\ $$ $$\mid{z}_{\mathrm{2}} \mid−\mathrm{1}\:={p}\:+\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\left({to}\:{eliminate}\:{from}\right. \\ $$ $$\left.{Residus}\right) \\ $$ $$\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \varphi\left({z}\right){dz}\:=\mathrm{2}{i}\pi\:{Res}\left(\varphi\:,{z}_{\mathrm{1}} \right)\:\:\: \\ $$ $${Res}\left(\varphi,{z}_{\mathrm{1}} \right)\:=\frac{−\mathrm{2}{i}}{{z}_{\mathrm{1}} −{z}_{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{−\mathrm{2}{i}}{\mathrm{2}\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:=\:\frac{−{i}}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$ $$\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \:\varphi\left({z}\right){dz}\:=\mathrm{2}{i}\pi\left(\frac{−{i}}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\right) \\ $$ $$=\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$ $$\bigstar\:\:{I}\:\:=\:\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}}}\:\bigstar \\ $$ | ||