Question Number 54641 by Joel578 last updated on 08/Feb/19
$$\mathrm{Given} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{4}{x}\:+\:\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}}}{\sqrt{\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\sqrt{\mathrm{2}{x}\:−\:\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\: \\ $$$${f}\left(\mathrm{13}\right)\:+\:{f}\left(\mathrm{14}\right)\:+\:{f}\left(\mathrm{15}\right)\:+\:...\:+\:{f}\left(\mathrm{112}\right) \\ $$
Commented by Meritguide1234 last updated on 08/Feb/19
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)+\sqrt{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}}{\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{denominator}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{positive} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} −\left(\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{13}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{14}\right)+...+\mathrm{f}\left(\mathrm{112}\right)=\mathrm{1625} \\ $$