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Question Number 59764 by ANTARES VY last updated on 14/May/19

((2+(√3))/((√2)+(√(2+(√3)))))+((2−(√3))/((√2)−(√(2−(√3))))). simplify.

$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}}. \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{simplify}}. \\ $$

Answered by Kunal12588 last updated on 14/May/19

((2+(√3))/((√2)+(√(2+(√3)))))+((2−(√3))/((√2)−(√(2−(√3))))) =(((√2)(2+(√3)))/(3+(√3)))+(((√2)(2−(√3)))/(3−(√3))) =(√2)(((6+(√3)−3+6−(√3)−3)/(9−3))) =(√2)

$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{6}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}+\mathrm{6}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}}{\mathrm{9}−\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by Kunal12588 last updated on 14/May/19

finding roots of surds of type (√(a±(√b))) (√(a±(√b)))=(√m)±(√n) ⇒a±b=(m+n)±2(√(mn)) ⇒m+n=a , 4mn=b ⇒m−n=(√((m+n)^2 −4mn))=(√(a^2 −b)) ⇒m=((a+(√(a^2 −b)))/2) , n=((a−(√(a^2 −b)))/2) ∴(√(a±(√b)))=(((√(a+(√(a^2 −b))))±(√(a−(√(a^2 −b)))))/(√2)) example (√(2+(√3)))=(((√(2+(√(4−3))))+(√(2−(√(4−3)))))/(√2))=(((√3)+1)/(√2)) (√(2−(√3)))=(((√(2+(√(4−3))))−(√(2−(√(4−3)))))/(√2))=(((√3)−1)/(√2)) (√(14−3(√3)))=(((√(14+(√(196−27))))−(√(14−(√(196−27)))))/(√2))=((3(√3)−1)/(√2))

$${finding}\:{roots}\:{of}\:{surds}\: \\ $$$${of}\:{type}\:\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}} \\ $$$$\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}}=\sqrt{{m}}\pm\sqrt{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{a}\pm{b}=\left({m}+{n}\right)\pm\mathrm{2}\sqrt{{mn}} \\ $$$$\Rightarrow{m}+{n}={a}\:,\:\mathrm{4}{mn}={b} \\ $$$$\Rightarrow{m}−{n}=\sqrt{\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{mn}}=\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}} \\ $$$$\Rightarrow{m}=\frac{{a}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}{\mathrm{2}}\:,\:{n}=\frac{{a}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}}=\frac{\sqrt{{a}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}\pm\sqrt{{a}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}}{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$${example} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}+\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}}{\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}}{\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{14}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{14}+\sqrt{\mathrm{196}−\mathrm{27}}}−\sqrt{\mathrm{14}−\sqrt{\mathrm{196}−\mathrm{27}}}}{\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$

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