Question Number 66814 by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 20/Aug/19
$${Let}\:{consider}\:{an}\:{integer}\:{serie}\:\left\{{a}_{{n}} {x}^{{n}} \right\}\:{given}\:{by}\:\:{a}_{{n}} \:=\:{H}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\: \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{Find}\:{out}\:{the}\:{largest}\:{domain}\:{D}\:{of}\:{convergence}\:{of}\:{that}\:{integer}\:{serie} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\forall\:{x}\in{D}\:\:,\:{explicit}\:{the}\:{sum}\:{S}\left({x}\right)\:{of}\:{the}\:\left\{{a}_{{n}} {x}^{{n}} \right\}\: \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:{Calculate}\:\:\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:{S}\left(\mathrm{1}−{x}\right){S}\left({x}\right)\:{dx}\:. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$