Question Number 76323 by aliesam last updated on 26/Dec/19
Commented by mind is power last updated on 27/Dec/19
![I_n =∫cos^n (x)e^(ax) dx by part I_n =cos^n (x)(e^(ax) /a)+(1/a)∫ncos^(n−1) (x)e^(ax) sin(x)dx aI_n =cos^n (x)e^(ax) +n∫cos^(n−1) (x)sin(x)e^(ax) dx by part withe u′=sin(x)e^(ax) ,v=cos^(n−1) (x) v′=−(n−1)cos^(n−2) (x)sin(x) u=∫Im(e^(x(i+a)) )dx =Im((e^(ax) .e^(ix) )/(i+a))=((e^(ax) (asin(x)−cos(x)))/(a^2 +1)) u=((e^(ax) (asin(x)−cos(x)))/(a^2 +1)) aI_n =cos^n (x)e^(ax) +n[((e^(ax) (asin(x)−cos(x))cos^(n−1) (x))/(a^2 +1))]+n(n−1)∫((sin(x)cos^(n−2) (x).e^(ax) (asin(x)−cos(x)))/(a^2 +1))dx a(a^2 +1)I_n =(a^2 +1)cos^n (x)e^(ax) +ne^(ax) (asin(x)−cos(x))cos^(n−1) (x))+n(n−1)∫acos^(n−2) (x)(1−cos^2 (x))dx−n(n−1)∫sin(x)cos^(n−1) (x)e^(ax) dx ⇔a(a^2 +1)I_n =e^(ax) ((a^2 +1−n)cos^n (x)+nasin(x))+n(n−1)aI_(n−2) −an(n−1)I_n −n(n−1)∫sin(x)cos^(n−1) (x)e^(ax) dx ∫sin(x)cos^(n−1) (x)e^(ax) =−((cos^n (x)e^(ax) )/n)+(a/n)∫cos^n (x)e^(ax) dx =−((cos^n (x)e^(ax) )/n)+((aI_n )/n) ⇒a(a^2 +1)I_n =e^(ax) (a^2 cos^n (x)+nasin(x))+n(n−1)aI_(n−2) −an(n−1)I_n −a(n−1)I_n ⇒a(a^2 +1)I_n +a(n−1)I_n +an(n−1)I_n =e^(ax) a^2 cos^(n−1) (x)(1+(n/a)sin(x))+an(n−1)I_(n−2) a(a^2 +n^2 )I_n =e^(ax) a^2 cos^(n−1) (x)(1+(n/a)sin(x))+an(n−1)I_(n−2) ⇒I_n =((e^(ax) acos^(n−1) (x))/(a^2 +n^2 ))(1+((nsin(x))/a))+((n(n−1))/(a^2 +n^2 ))I_(n−2)](Q76402.png)
$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\int\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{part} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} }{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int\mathrm{ncos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{aI}_{\mathrm{n}} =\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} +\mathrm{n}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{part}\:\mathrm{withe}\:\mathrm{u}'=\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} ,\mathrm{v}=\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}'=−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{u}=\int\mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}\left(\mathrm{i}+\mathrm{a}\right)} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{Im}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} .\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\mathrm{i}+\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{u}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{aI}_{\mathrm{n}} =\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} +\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right]+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right).\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} +\mathrm{ne}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\mathrm{acos}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{n}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{nasin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{aI}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} −\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} =−\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} }{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} }{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{aI}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{nasin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{aI}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} −\mathrm{a}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} +\mathrm{a}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} +\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{acos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{nsin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}}\right)+\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by aliesam last updated on 27/Dec/19
$${thank}\:{you}\:{sir}\:.\:{nice}\:{work} \\ $$