Question Number 8595 by diofanto last updated on 17/Oct/16
$${Let}\:{N}\:\in\:\mathbb{Z}.\:{Show}\:{that} \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{N}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{N}−{k}}{{sin}\left({k}\pi/{N}\right)}\:>\:\mathrm{2}{N}−\mathrm{2}+\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{N}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{N}−{k}}{{sin}\left(\left({k}−\mathrm{1}\right)\pi/\left({N}−\mathrm{1}\right)\right)} \\ $$ $${if},\:{and}\:{only}\:{if},\:{N}\:\geqslant\:\mathrm{12} \\ $$
Commented byprakash jain last updated on 17/Oct/16
$${T}_{{N}} =\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{N}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{N}−{k}}{{sin}\left(\left({k}−\mathrm{1}\right)\pi/\left({N}−\mathrm{1}\right)\right)} \\ $$ $${S}_{{N}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{N}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{N}−{k}}{{sin}\left({k}\pi/{N}\right)} \\ $$ $${T}_{{N}} ={S}_{{N}−\mathrm{1}} \\ $$ $${to}\:{prove} \\ $$ $${S}_{{N}} −{S}_{{N}−\mathrm{1}} >\mathrm{2}{N}−\mathrm{2}\:{if}\:{N}\geqslant\mathrm{12} \\ $$ $${S}_{{N}} −{S}_{{N}−\mathrm{1}} <\mathrm{2}{N}−\mathrm{2}\:{if}\:{N}<\mathrm{12} \\ $$ $${will}\:{continue}\:{soon} \\ $$