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Question Number 9403 by alfat123 last updated on 05/Dec/16

Answered by ridwan balatif last updated on 05/Dec/16

∫_0 ^1 5x(1−x)^6 dx=u.v−∫vdu misal: u=5x→du=5dx dv=(1−x)^6 dx ∫dv=∫(1−x)^6 dx v=−(1/7)(1−x)^7 maka,∫_0 ^1 5x(1−x)^6 =((5x).(((−1)/7)(1−x)^7 )−(∫−(1/7)(1−x)^7 5dx))_0 ^1 =(−((5x)/7)(1−x)^7 −(5/(56))(1−x)^8 )_0 ^1 =−((5/7)(1−x)^7 (x+(1/8)(1−x)))_0 ^1 =−((5/(56))(1−x)^7 (7x+1))_0 ^1 =(5/(56))

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{5x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} \mathrm{dx}=\mathrm{u}.\mathrm{v}−\int\mathrm{vdu} \\ $$$$\mathrm{misal}:\:\mathrm{u}=\mathrm{5x}\rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{5dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{dv}=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} \mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int\mathrm{dv}=\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} \mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{v}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \\ $$$$\mathrm{maka},\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{5x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} =\left(\left(\mathrm{5x}\right).\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \right)−\left(\int−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \mathrm{5dx}\right)\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(−\frac{\mathrm{5x}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{56}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{8}} \right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{56}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \left(\mathrm{7x}+\mathrm{1}\right)\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{56}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Answered by ridwan balatif last updated on 05/Dec/16

∫cos^3 xdx=∫(cosx)cos^2 xdx =∫cosx(1−sin^2 x)dx =∫cosdx −∫sin^2 xcosxdx...(∗) ∫sin^2 xcosxdx=u.v−∫vdu misal:u=sin^2 x→du=2sinxcosxdx dv=cosxdx→v=sinx ∫sin^2 xcosxdx=sin^3 x−∫sinx(2sinxcosx)dx ∫sin^2 xcosxdx=sin^3 x−2∫sin^2 xcosxdx 3∫sin^2 xcosxdx=sin^3 x ∫sin^2 xcosxdx=(1/3)sin^3 x+C...(∗∗) substitusi nilai dari persamaan (∗∗) ke persamaan (∗) ∫cos^3 xdx=∫cosxdx−∫sin^2 xcosxdx =sinx−((1/3)sin^3 x+C) =sinx−(1/3)sin^3 x+C

$$\int\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{xdx}=\int\left(\mathrm{cosx}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\mathrm{cosx}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\mathrm{cosdx}\:−\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}...\left(\ast\right) \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{u}.\mathrm{v}−\int\mathrm{vdu} \\ $$$$\mathrm{misal}:\mathrm{u}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{2sinxcosxdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{dv}=\mathrm{cosxdx}\rightarrow\mathrm{v}=\mathrm{sinx} \\ $$$$\:\:\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\int\mathrm{sinx}\left(\mathrm{2sinxcosx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{2}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx} \\ $$$$\mathrm{3}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{C}...\left(\ast\ast\right) \\ $$$$\mathrm{substitusi}\:\mathrm{nilai}\:\mathrm{dari}\:\mathrm{persamaan}\:\left(\ast\ast\right)\:\mathrm{ke}\:\mathrm{persamaan}\:\left(\ast\right) \\ $$$$\:\int\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{xdx}=\int\mathrm{cosxdx}−\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sinx}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{C}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sinx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{C} \\ $$

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