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Question Number 94849 by mathocean1 last updated on 21/May/20

Calculate limits of f at +∞; −1 and 1 f(x)=2x+3−(x/(1−x^2 ))

$$\mathrm{Calculate}\:\mathrm{limits}\:\mathrm{of}\:{f}\:\mathrm{at}\:+\infty;\:−\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{1} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}−\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/May/20

f(x) =2x+3+(x/(x^2 −1)) ⇒lim_(x→+∞) f(x) =lim_(x→+∞) (2x+3+(1/x)) =+∞ we have f(x) =(((2x+3)(1−x^2 )−x)/(1−x^2 )) =((2x−2x^3 +3−3x^2 −x)/(1−x^2 )) =((−2x^3 −3x^2 +x+3)/(1−x^2 )) =((2x^3 +3x^2 −x−3)/((x−1)(x+1))) ⇒ lim_(x→1^+ ) f(x) =(1/0^+ ) =+∞ and lim_(x→1^− ) f(x) =(1/0^− ) =−∞ lim_(x→−1^+ ) f(x) =((−1)/((−2)×o^+ )) =+∞ lim_(x→−1^− ) f(x) =−∞

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2x}+\mathrm{3}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=+\infty \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{0}^{+} }\:=+\infty\:\mathrm{and}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{0}^{−} }\:=−\infty \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow−\mathrm{1}^{+} } \:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{2}\right)×\mathrm{o}^{+} }\:=+\infty \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow−\mathrm{1}^{−} } \:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\infty \\ $$

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