Previous in Differential Equation Next in Differential Equation
Question Number 95933 by john santu last updated on 28/May/20
$$\mathrm{y}'''+\mathrm{2y}'−\mathrm{3y}=\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\: \\ $$
Commented by Sourav mridha last updated on 29/May/20
$$\mathrm{are}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sure}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{3rd}\:\mathrm{order}\:\mathrm{ODE},\mathrm{i}\:\mathrm{think} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{2nd}\:\mathrm{order}. \\ $$
Commented by john santu last updated on 29/May/20
$$\mathrm{yes}.\: \\ $$
Answered by bobhans last updated on 29/May/20
$$\mathrm{homogenous}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\lambda^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\lambda−\mathrm{3}\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\left(\lambda^{\mathrm{2}} +\lambda+\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\lambda\:=\:\mathrm{1}\:;\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\:\frac{{i}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${y}_{{h}\:} =\:{A}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{{x}} +{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}} \left({A}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:\left(\frac{{x}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right)+{A}_{\mathrm{3}} \mathrm{sin}\:\left(\frac{{x}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right)\right)\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/May/20
![let try with Laplace transform (e) ⇒L(y^((3)) )+2L(y^′ )−3L(y) =L((x+3)e^x ) ⇒ x^3 L(y)−x^2 y(0)−xy^′ (0)−y^(′′) (0)+2(xL(y)−y(0))−3L(y) =L((x+3)e^x )⇒ (x^3 +2x−3)L(y)−x^2 y(0)−xy^′ (0)−2y(0)−y^(′′) (0) =L{(x+3)e^x } ⇒ (x^3 +2x−3)L(y)=L{(x+3)e^x }+(x^2 +2)y(0)+xy^′ (0)+y^(′′) (0) we have L((x+3)e^x ) =∫_0 ^∞ (t+3)e^t e^(−xt) dt =∫_0 ^∞ (t+3)e^((1−x)t) dt =[((t+3)/(1−x))e^((1−x)t) ]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ (1/(1−x))e^((1−x)t) dt =−(3/(1−x))−(1/(1−x))[(1/(1−x))e^((1−x)t) ]_0 ^∞ =(3/(x−1))+(1/((1−x)^2 )) (e)⇒(x^3 +2x−3)L(y) =(3/((x−1))) +(1/((x−1)^2 )) +(x^2 +2)y(0)+xy^′ (0)+y^((2)) (0) ⇒L(y) =(3/((x−1)(x^3 +2x−3))) +(1/((x−1)^2 (x^3 +2x−3))) +y(0)((x^2 +2)/(x^3 +2x−3)) +y^′ (0)(x/(x^3 +2x−3)) +((y^((2)) (0))/(x^3 +2x−3)) ⇒ y =3L^(−1) ((1/((x−1)(x^3 +2x−3)))) +L^(−1) ((1/((x−1)^2 (x^3 +2x−3))))+y(o)L^(−1) (((x^2 +2)/(x^3 +2x−3))) +y^′ (0)L^(−1) ((x/(x^3 +2x−3)))+y^((2)) (0)L^(−1) ((1/(x^3 +2x−3))) rest to decompose those fractions ...be continued...](Q96039.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{try}\:\mathrm{with}\:\mathrm{Laplace}\:\mathrm{transform} \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{\left(\mathrm{3}\right)} \right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)−\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{xy}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{''} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)−\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{xy}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{2y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{''} \left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{L}\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\}+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\right)\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{xy}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{''} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{L}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{t}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{t}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{t}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\right)\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{xy}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)}\:+\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}} \\ $$$$+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{3L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)}\right)\:+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right) \\ $$$$+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right)+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right)\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{those} \\ $$$$\mathrm{fractions}\:...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$