Question Number 96771 by abdomathmax last updated on 04/Jun/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} \:−\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{y}\:=\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\:\mathrm{with}\:\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{1} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
![let solve by laplce (e)⇒L(y^((2)) )−L(y^((1)) )+L(y) =L(cos(2t)) ⇒ x^2 L(y)−xy(0)−y^′ (0)−(xL(y)−y(0))+L(y) =L(cos(2x)) ⇒ (x^2 −x+1)L(y)+x+1 −1 =L(cos(2x)) ⇒ (x^2 −x+1)L(y) =−x +L(cos(2x)) we have L(cos(2x)) =∫_0 ^∞ cos(2t)e^(−xt) dt =Re(∫_0 ^∞ e^(2it−xt) dt)and ∫_0 ^∞ e^((−x+2i)t) dt =[(1/(−x+2i)) e^((−x+2i)t) ]_0 ^∞ =−(1/(−x+2i)) =(1/(x−2i)) =((x+2i)/(x^2 +4)) ⇒ L(cos(2x)) =(x/(x^2 +4)) so (e) ⇒(x^2 −x+1)L(y) =−x +(x/(x^2 +4)) ⇒L(y) =((−x)/(x^2 −x+1)) +(x/((x^2 −x+1)(x^2 +4))) ⇒y(x) =−L^(−1) ((x/(x^2 −x+1))) +L^(−1) ((x/((x^2 −x+1)(x^2 +4)))) x^2 −x +1 =0→Δ =1−4 =−3 ⇒x_1 =((1+i(√3))/2) and x_2 =((1−i(√3))/2) (x/(x^2 −x+1)) =(x/((x−x_1 )(x−x_2 ))) =x((1/(x−x_1 ))−(1/(x−x_2 )))×(1/(x_1 −x_2 )) =(1/(i(√3))){ (x/(x−x_1 ))−(x/(x−x_2 ))} =(1/(i(√3))){((x−x_1 +x_1 )/(x−x_1 ))−((x−x_2 +x_2 )/(x−x_2 ))} =(1/(i(√3))){(x_1 /(x−x_1 )) −(x_2 /(x−x_2 ))} ⇒L^(−1) ((x/(x^2 −x+1))) =(x_1 /(i(√3)))e^(x_1 x) −(x_2 /(i(√3))) e^(x_2 t) =(x_1 /(i(√3))) e^((((1+i(√3))/2))x) −(x_2 /(i(√3))) e^((((1−i(√3))/2))x) =e^(x/2) { (x_1 /(i(√3)))(cos((((√3)x)/2))+isin((((√3)x)/2)) −(x_2 /(i(√3)))(cos((((√3)x)/2))−isin((((√3)x)/2))} =((−i)/(√3))e^(x/2) {i(√3)cos((((√3)x)/2)) −i(√3)×isin((((√3)x)/2))}=.... g(x) =(x/((x^2 −x+1)(x^2 +4))) ⇒g(x) =(x/((x−x_1 )(x−x_2 )(x−2i)(x+2i))) =(a/(x−x_1 )) +(b/(x−x_2 )) +(c/(x−2i)) +(d/(x +2i)) its eazy to find (a_(i)) ⇒ L^(−1) (g(x)) =ae^(x_1 x) +be^(x_2 x) +c e^(2ix) +de^(−2ix) ⇒ y(x) =(x_1 /(i(√3))) e^(x_1 x) −(x_2 /(i(√3))) e^(x_2 x) +a e^(x_1 x) +b e^(x_2 x) +c e^(2ix) +d e^(−2ix) =((x_1 /(i(√3))) +a)e^(x_1 x) +(b−(x_2 /(i(√3))))e^(x_2 x) + ce^(2ix) +d e^(−2ix) .](Q96902.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{by}\:\mathrm{laplce}\: \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \right)−\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\left(\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{x}+\mathrm{1}\:−\mathrm{1}\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=−\mathrm{x}\:+\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2it}−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\right)\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{2i}}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:=−\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{2i}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2i}}\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2i}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\:\mathrm{so}\: \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=−\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta\:=\mathrm{1}−\mathrm{4}\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \:−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\right\}\:\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:−\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:−\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\:\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:−\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{isin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right\}\right.\right. \\ $$$$=\frac{−\mathrm{i}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}×\mathrm{isin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right\}=.... \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2i}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{2i}}\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{x}\:+\mathrm{2i}}\:\:\:\mathrm{its}\:\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\left(\mathrm{a}_{\left.\mathrm{i}\right)} \:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\:=\mathrm{ae}^{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \:+\mathrm{de}^{−\mathrm{2ix}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:−\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \:\:+\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \:+\mathrm{d}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\mathrm{a}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\left(\mathrm{b}−\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \:+\:\mathrm{ce}^{\mathrm{2ix}} \:+\mathrm{d}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \:. \\ $$