Question Number 97625 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{y}^{''} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} \:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sinx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20
![let y^′ =z so (e)⇒x^2 z^′ −(x+1)z =x^2 sinx (he)→x^2 z^′ −(x+1)z =0 ⇒x^2 z^′ =(x+1)z ⇒(z^′ /z) =((x+1)/x^2 ) =(1/x) +(1/x^2 ) ⇒ ln∣z∣ =ln∣x∣−(1/x) +c ⇒z =k∣x∣e^(−(1/x)) let find solution on ]0,+∞[ ⇒ z =kxe^(−(1/x)) mvc method →z^′ =k^′ x e^(−(1/x)) +k(e^(−(1/x)) +x×(1/x^2 )e^(−(1/x)) ) =k^′ x e^(−(1/x)) +k e^(−(1/x)) +(k/x) e^(−(1/x)) (e)⇒k^′ x^3 e^(−(1/x)) +kx^2 e^(−(1/x)) +kx e^(−(1/x)) −kx(x+1)e^(−(1/x)) =x^2 sinx ⇒ (k^′ x^3 +kx^2 +k−kx^2 −kx)e^(−(1/x)) =x^2 sinx ⇒k^′ x^3 e^(−(1/x)) =x^2 sinx ⇒ k^′ =((sinx)/x) e^(1/x) ⇒ k(x) = ∫^x ((sint)/t) e^(1/t) dt +c ⇒ z(x) =x e^(−(1/x)) { ∫^x ((sint)/t)e^(1/t) dt +c} =x e^(−(1/x)) ∫^x ((sint)/t)e^(1/t) dt +cx e^(−(1/x)) y^′ =z ⇒y(x) =∫^x z(u)du +λ =∫^x {u e^(−(1/u)) ∫^u ((sint)/t)e^(1/t) dt +cu e^(−(1/u)) }du +λ](Q97712.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{z}\:\:\mathrm{so}\:\:\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{z}^{'} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sinx} \\ $$$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{'} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{'} \:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{z}^{'} }{\mathrm{z}}\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\left.\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}\mid\:=\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{z}\:=\mathrm{k}\mid\mathrm{x}\mid\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:\:\mathrm{let}\:\mathrm{find}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{on}\:\right]\mathrm{0},+\infty\left[\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{z}\:=\mathrm{kxe}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:\:\:\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:+\mathrm{k}\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:+\mathrm{x}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \right) \\ $$$$=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:+\mathrm{k}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:+\mathrm{kx}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:+\mathrm{kx}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:−\mathrm{kx}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sinx}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{kx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}−\mathrm{kx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{kx}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sinx}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sinx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:=\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:\Rightarrow\:\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\int^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}} \:\mathrm{dt}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \left\{\:\int^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}} \:\mathrm{dt}\:+\mathrm{c}\right\}\:=\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:\int^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}} \:\mathrm{dt}\:+\mathrm{cx}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \: \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int^{\mathrm{x}} \mathrm{z}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}\:+\lambda \\ $$$$=\int^{\mathrm{x}} \left\{\mathrm{u}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}} \:\int^{\mathrm{u}} \:\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}} \:\mathrm{dt}\:+\mathrm{cu}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}} \right\}\mathrm{du}\:+\lambda \\ $$