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Question Number 145420 by puissant last updated on 04/Jul/21

Developpement limite^� ge^� ne^� ralise^� au voisinnage de −∞ de g(x)=((√(1+x^2 ))/(1+x+(√(1+x^2 )))) et de^� duire une asymptote en −∞ ainsi que sa position relative par rapport a la courbe.

$$\mathrm{Developpement}\:\:\mathrm{limit}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{g}\acute {\mathrm{e}n}\acute {\mathrm{e}ralis}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{au}\: \\ $$$$\mathrm{voisinnage}\:\mathrm{de}\:−\infty\:\mathrm{de}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}duire}\:\mathrm{une}\:\mathrm{asymptote}\:\mathrm{en}\:−\infty\: \\ $$$$\mathrm{ainsi}\:\mathrm{que}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{position}\:\mathrm{relative}\:\mathrm{par}\:\mathrm{rapport} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{courbe}. \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 04/Jul/21

g(x) = ((√(1+x^2 ))/(1+x+(√(1+x^2 )))) g(x) = ((√(1+x^2 ))/((1+x)^2 −(1+x^2 )))(1+x−(√(1+x^2 ))) g(x) = ((√(1+x^2 ))/(2x))(1+x−(√(1+x^2 ))) g((1/x)) = x((√(1+(1/x^2 )))/2)(1+(1/x)−(√(1+(1/x^2 )))) Quand x tend vers −∞, (1/x) tend vers 0^− g((1/x)) ∼_0^− x((1+(1/(2x^2 )))/2)(1+(1/x)−1−(1/(2x^2 ))) g((1/x)) ∼_0^− ((1+(1/(2x^2 )))/2)(1−(1/(2x))) g((1/x)) ∼_0^− (1/2)(1−(1/(2x))+(1/(2x^2 ))−(1/(4x^3 ))) g((1/x)) ∼_0^− (1/2)−(1/(4x))+(1/(4x^2 ))−(1/(8x^3 )) lim_(1/x→0^− ) g((1/x)) = (1/2) La droite d′equation y = (1/2) est asymptote horizontale en −∞ g((1/x))−(1/2) ∼_0^− −(1/(4x)) > 0 La courbe de la fonction g est donc au−dessus de l′asymptote en −∞

$${g}\left({x}\right)\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+{x}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$${g}\left({x}\right)\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}\left(\mathrm{1}+{x}−\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$${g}\left({x}\right)\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{x}}\left(\mathrm{1}+{x}−\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$${g}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:=\:{x}\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}\right) \\ $$$$\mathrm{Quand}\:{x}\:\mathrm{tend}\:\mathrm{vers}\:−\infty,\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\mathrm{tend}\:\mathrm{vers}\:\mathrm{0}^{−} \\ $$$${g}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:\underset{\mathrm{0}^{−} } {\sim}\:{x}\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$${g}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:\underset{\mathrm{0}^{−} } {\sim}\:\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}}\right) \\ $$$${g}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:\underset{\mathrm{0}^{−} } {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$${g}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:\underset{\mathrm{0}^{−} } {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\underset{\mathrm{1}/{x}\rightarrow\mathrm{0}^{−} } {\mathrm{lim}}\:{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{droite}\:\mathrm{d}'\mathrm{equation}\:{y}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{asymptote}\:\mathrm{horizontale}\:\mathrm{en}\:−\infty \\ $$$${g}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\underset{\mathrm{0}^{−} } {\sim}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{courbe}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:{g}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{au}−\mathrm{dessus}\:\mathrm{de}\:\mathrm{l}'\mathrm{asymptote}\:\mathrm{en}\:−\infty \\ $$

Commented by puissant last updated on 04/Jul/21

merci cordialement..

$$\mathrm{merci}\:\:\mathrm{cordialement}.. \\ $$

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