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Question Number 202172 by MATHEMATICSAM last updated on 22/Dec/23

If log_(12) 18 = A and log_(24) 54 = B then prove that AB + 5(A − B) = 1.

$$\mathrm{If}\:\mathrm{log}_{\mathrm{12}} \mathrm{18}\:=\:\mathrm{A}\:\mathrm{and}\:\mathrm{log}_{\mathrm{24}} \mathrm{54}\:=\:\mathrm{B}\:\mathrm{then}\:\mathrm{prove} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{AB}\:+\:\mathrm{5}\left(\mathrm{A}\:−\:\mathrm{B}\right)\:=\:\mathrm{1}. \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Dec/23

12^A =18 & 24^B =54 (2^2 .3)^A =18 & (2^3 .3)^B =54 2^(2A) .3^A =2.3^2 & 2^(3B) .3^B =2.3^3 ((2^(2A) .3^A )/(2^(3B) .3^B ))=((2.3^2 )/(2.3^3 ))=3^(−1) 2^(2A−3B) .3^(A−B) =2^0 .3^(−1) 2A−3B=0 ∧ A−B=−1(⇒A=B−1) 2(B−1)−3B=0 B=−2⇒A=−2−1=−3 AB + 5(A − B) = 1 ⇒AB + 5A − 5B−25+25=1 A(B+5)−5(B+5)+25=1 (A−5)(B+5)+25=1 (−3−5)(−2+5)+25=1 (−8)(3)+25=1 1=1 QED

$$\mathrm{12}^{\mathrm{A}} =\mathrm{18}\:\&\:\mathrm{24}^{\mathrm{B}} =\mathrm{54} \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}\right)^{\mathrm{A}} =\mathrm{18}\:\&\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}\right)^{\mathrm{B}} =\mathrm{54} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{2A}} .\mathrm{3}^{\mathrm{A}} =\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \:\&\:\mathrm{2}^{\mathrm{3B}} .\mathrm{3}^{\mathrm{B}} =\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2A}} .\mathrm{3}^{\mathrm{A}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{3B}} .\mathrm{3}^{\mathrm{B}} }=\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{2A}−\mathrm{3B}} .\mathrm{3}^{\mathrm{A}−\mathrm{B}} =\mathrm{2}^{\mathrm{0}} .\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2A}−\mathrm{3B}=\mathrm{0}\:\wedge\:\:\:\mathrm{A}−\mathrm{B}=−\mathrm{1}\left(\Rightarrow\mathrm{A}=\mathrm{B}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{B}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3B}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{B}=−\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{A}=−\mathrm{2}−\mathrm{1}=−\mathrm{3} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{AB}\:+\:\mathrm{5}\left(\mathrm{A}\:−\:\mathrm{B}\right)\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{AB}\:+\:\mathrm{5A}\:−\:\mathrm{5B}−\mathrm{25}+\mathrm{25}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{A}\left(\mathrm{B}+\mathrm{5}\right)−\mathrm{5}\left(\mathrm{B}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{25}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{A}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{B}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{25}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(−\mathrm{3}−\mathrm{5}\right)\left(−\mathrm{2}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{25}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left(−\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{25}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{QED} \\ $$

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