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Question Number 193368 by MATHEMATICSAM last updated on 11/Jun/23
$$\mathrm{If}\:\mathrm{log}_{{a}} {y}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{log}_{\mathrm{8}} {a}\:=\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:\mathrm{then}\:\mathrm{show} \\ $$$$\mathrm{that}\:{y}\:=\:\mathrm{2}^{{x}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$
Answered by aba last updated on 11/Jun/23
$$\mathrm{log}_{\mathrm{8}} \mathrm{a}=\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{3ln}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right)\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{3ln}\left(\mathrm{y}\right)\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)=\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right)\:\Rightarrow\:\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \:\checkmark \\ $$
Answered by aba last updated on 11/Jun/23
$$\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{3log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)}\:\Rightarrow\:\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{log}_{\mathrm{8}} \left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \:\checkmark \\ $$