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Question Number 194638 by Erico last updated on 12/Jul/23
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\forall{n}\in\mathrm{IN}^{\ast} \:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)}=\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Give}\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:{n}\:\:\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{sin}^{\mathrm{4}} \left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)} \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 12/Jul/23
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tg}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)}\right) \\ $$$$\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}..\mathrm{known}\:\mathrm{By}\:\mathrm{1st}\:\mathrm{Quation} \\ $$$$\Sigma\mathrm{tg}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)...\mathrm{withe}\:\mathrm{same}\:\mathrm{methode}\:\mathrm{Polynomial}\:\mathrm{roots} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{4}} =\Sigma\mathrm{x}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{4}} ...\mathrm{use}\:\mathrm{newtoon}\:\mathrm{identity}\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 12/Jul/23
![Σ_(k=1) ^(2^n −1) (1/(sin^2 (((kπ)/2^(n+1) ))))=Σ_(k=1) ^(2^n −1) (1+(1/(tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))))),k→2^n −k =Σ_(k=1) ^(2^n −1) (1+tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))),⇔Σ_(k=1) ^2^(n−1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))=Σ_(k=1) ^(2^n −1) (1/(tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))))...I Let S=Σ_(k=1,k≠2^n ) ^(2^(n+1) −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))=Σ_(k=1) ^(2^n −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))+Σ_(2^n +1) ^(2^n −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) )) for the 2nd Sum k→2^n +k ⇒S=Σ_(k=1) ^(2^n −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))+tg^2 (((2^n +k)/2^(n+1) ))=Σ_(k=1) ^(2^n −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))+(1/(tg^2 (((kπ)/2^(n+1) )))) ⇒S=2Σ_(k=1) ^(2^n −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))...A=[1,2^(n+1) −1]−{2^n } let′s find polynonial withe Roots tg(((kπ)/2^(n+1) )),k∈A tg(2^(n+1) x)=0⇔2^(n+1) x=kπ⇔x=((kπ)/2^(n+1) ),k∈A∪{2^n ,0} if we tack,((tg(2^(n+1) x))/(tg(x)))=0⇒x=((kπ)/2^(n+1) ),k∈A we Know tg(mx)=((Σ_(k=0) ^([((m−1)/2)]) (−1)^k ((m),((2k+1)) )tg^(2k+1) (x))/(Σ_(k=0) ^([(m/2)]) (−1)^k ((m),((2k)) ).tg^(2k) (x)_ )) ⇒((tg(2^(n+1) x))/(tg(x)))=0⇔Σ_(k=0) ^(2^n −1) (−1)^k ((2^(n+1) ),((2k+1)) )tg^(2k) (x)=p(tg(x)) Σ_(k=0) ^(2^n −1) (−1)^k ((2^(n+1) ),((2k+1)) )t^(2k) =p(t),deg(p)=2^(n+1) −2 and root of P.are tan(((kπ)/2^(n+1) )),k∈A card (A)=2^(n+1) −2 so we have all root of P if f(x)=Σ_(k=0) ^n a_k x^k ;x_i root of P Σx_i =−(a_(n−1) /a_n ),Σ_(1≤i<j≤n) x_i x_j =(a_(n−2) /a_n ) Σ_(k∈A) tg(((kπ)/2^(n+1) ))=0 Σ_(k_1 <k_2 ,(k_1 ,k_2 )∈A^2 ) tg(((k_1 π)/2^(n+1) ))tg(((k_2 π)/2^(n+1) ))=−( ((2^(n+1) ),((2^(n+1) −3)) )/ ((2^(n+1) ),((2^(n+1) −1)) )) =−(1/6)(2^(n+1) −1)(2^(n+1) −2) Σx_i ^2 =(Σx_i )^2 −2Σx_i x_j =(1/3)(2^(n+1) −1)(2^(n+1) −2) S=2Σ_(k=1) ^(2^n −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) )) Σ_(k=1) ^(2^n −1) tg^2 (((kπ)/2^(n+1) ))=(1/6)(2^(2n+2) −3.2^(n+1) +2)=((2^(2n+1) −3.2^n +1)/3) S_1 =Σ_(k=1) ^(2^n −1) (1/(sin^2 (((kπ)/2^(n+1) ))))=Σ_(k=1) ^(2^n −1) (1+(1/(tg(((kπ)/2^(n+1) ))))) =2^n −1+Σtg^2 (((kπ)/2^(m+1) ))=2^n −1+((2^(2n+1) −3.2^n +1)/3) ⇔Σ_(k=1) ^(2^n −1) (1/(sin^2 (((kπ)/2^(n+1) ))))=((2^(2n+1) −2)/3)](Q194679.png)
$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)}=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)}\right),\mathrm{k}\rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{k} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\right),\Leftrightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} } {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)}...\mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{Let}\: \\ $$$$\mathrm{S}=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1},\mathrm{k}\neq\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)+\underset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{2nd}\:\mathrm{Sum}\:\mathrm{k}\rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{k} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)+\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{k}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)...\mathrm{A}=\left[\mathrm{1},\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right]−\left\{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \right\} \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\:\mathrm{find}\:\mathrm{polynonial}\:\mathrm{withe}\:\mathrm{Roots}\:\mathrm{tg}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right),\mathrm{k}\in\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{tg}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}=\mathrm{k}\pi\Leftrightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} },\mathrm{k}\in\mathrm{A}\cup\left\{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} ,\mathrm{0}\right\} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{tack},\frac{\mathrm{tg}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}\right)}{\mathrm{tg}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} },\mathrm{k}\in\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{Know} \\ $$$$\mathrm{tg}\left(\mathrm{mx}\right)=\frac{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\left[\frac{\mathrm{m}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \begin{pmatrix}{\mathrm{m}}\\{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\end{pmatrix}\mathrm{tg}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}\right]} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \begin{pmatrix}{\mathrm{m}}\\{\mathrm{2k}}\end{pmatrix}.\mathrm{tg}^{\mathrm{2k}} \left(\mathrm{x}\right)_{} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{tg}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}\right)}{\mathrm{tg}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \begin{pmatrix}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\\{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\end{pmatrix}\mathrm{tg}^{\mathrm{2k}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{p}\left(\mathrm{tg}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \begin{pmatrix}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\\{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\end{pmatrix}\mathrm{t}^{\mathrm{2k}} =\mathrm{p}\left(\mathrm{t}\right),\mathrm{deg}\left(\mathrm{p}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P}.\mathrm{are}\:\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right),\mathrm{k}\in\mathrm{A}\:\mathrm{card}\:\left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{all}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\:;\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{root}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P} \\ $$$$\Sigma\mathrm{x}_{\mathrm{i}} =−\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} },\underset{\mathrm{1}\leqslant\mathrm{i}<\mathrm{j}\leqslant\mathrm{n}} {\sum}\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{j}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} } \\ $$$$\underset{\mathrm{k}\in\mathrm{A}} {\sum}\mathrm{tg}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}_{\mathrm{1}} <\mathrm{k}_{\mathrm{2}} ,\left(\mathrm{k}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{k}_{\mathrm{2}} \right)\in\mathrm{A}^{\mathrm{2}} } {\sum}\mathrm{tg}\left(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\mathrm{tg}\left(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{2}} \pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)=−\frac{\begin{pmatrix}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\\{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\\{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}\end{pmatrix}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Sigma\mathrm{x}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{2}} =\left(\Sigma\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\Sigma\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{j}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} −\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{1}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)}=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tg}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}+\Sigma\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} }\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)}=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$