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Question Number 194960 by Erico last updated on 20/Jul/23
$$\mathrm{Soit}\:{x}>\mathrm{1}.\:\mathrm{On}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}finie}\:\mathrm{la}\:\mathrm{suite}\:\left(\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \right)\:\mathrm{par}\: \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{1}} ={x}\:\:\mathrm{et}\:\forall\mathrm{n}\in\mathrm{IN}^{\ast} \:\:\:\:\:\mathrm{p}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{2p}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}_{\mathrm{k}} }\right)=\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 22/Jul/23
![p_n =ch(w_n );w_n ≥0 x→^f ch(x) bijection [0,∞[→^f [1,∞[ ⇒p_(n+1) =ch(w_(n+1) ) 2ch^2 (w_n )−1=ch(2w_n ) ch(w_(n+1) )=ch(2w_n )⇒w_(n+1) =2w_n f is injective w_n =2^(n−1) w_1 ,w_1 =argch(x) p_n =ch(w_1 2^(n−1) ) Π_(k=1) ^n (1+(1/p_n ))=Π_(k=1) ^n (((1+ch(w_1 2^(n−1) ))/(ch(w_1 2^(n−1) ))))=Π (1+p_1 ).Π_(k=2) ^n (((2ch^2 (2^(k−2) w_1 ))/(ch(w_1 2^(k−1) ))))=((1+p_1 )/(ch(w_1 ))).2^(n−1) [.Π_(k=2) ^n ch(2^(k−2) w_1 )].((ch(w_1 ))/(ch(2^(n−1) w_1 ))) =(1+p_1 ) ch(x)sh(x)=sh(2x)⇒ 2^(n−1) .sh(w_1 )Π_(k=2) ^n ch(2^(k−2) w_1 )=sh(2^(n−1) w_1 ) Π(n)=(((1+p_1 ).sh(2^(n−1) w_1 ))/(ch(2^(n−1) w_1 ).sh(w_1 )))=((1+p_1 )/(sh(w_1 ))).th(2^(n−1) w_1 ) lim_(n→∞) Π(n)=((1+p_1 )/(sh(w_1 ))) sh(w_1 )=(ch^2 (w_1 )−1)^(1/2) =(√(x^2 −1)) lim_(n→∞) Π(n)=((1+x)/( (√(x^2 −1))))=(√((1+x)/(x−1)))](Q194980.png)
$$\mathrm{p}_{\mathrm{n}} =\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \right);\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\overset{\mathrm{f}} {\rightarrow}\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)\: \\ $$$$\mathrm{bijection}\:\left[\mathrm{0},\infty\left[\overset{\mathrm{f}} {\rightarrow}\left[\mathrm{1},\infty\left[\right.\right.\right.\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{2ch}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \right)−\mathrm{1}=\mathrm{ch}\left(\mathrm{2w}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)=\mathrm{ch}\left(\mathrm{2w}_{\mathrm{n}} \right)\Rightarrow\mathrm{w}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{2w}_{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{injective}\: \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\mathrm{argch}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{n}} =\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}_{\mathrm{n}} }\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)}{\boldsymbol{\mathrm{ch}}\left(\boldsymbol{\mathrm{w}}_{\mathrm{1}} \mathrm{2}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}−\mathrm{1}} \right)}\right)=\Pi \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{p}_{\mathrm{1}} \right).\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{2ch}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right)}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{p}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left[.\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)\right].\frac{\mathrm{ch}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\mathrm{p}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} .\mathrm{sh}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{sh}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\Pi\left(\mathrm{n}\right)=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{p}_{\mathrm{1}} \right).\mathrm{sh}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right).\mathrm{sh}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{p}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{sh}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)}.\mathrm{th}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\Pi\left(\mathrm{n}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{p}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{sh}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$\mathrm{sh}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)=\left(\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{w}_{\mathrm{1}} \right)−\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\Pi\left(\mathrm{n}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$