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Question Number 140636 by Mathspace last updated on 10/May/21

calculate Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 (n+1)(2n+1)^2 ))

$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 10/May/21

Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 (n+1)(2n+1)))=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 (2n+1)))−(((−1)^n )/(n(n+1)(2n+1))) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n)((1/n)−(2/(2n+1)))−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n(2n+1)))+Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)(2n+1))) =−(π^2 /(12))−3Σ(((−1)^n )/(n(2n+1)))+Σ_(n=1) ^∞ ((2(−1)^n )/(2n+1))−(((−1)^n )/(n+1)) =−(π^2 /(12))−3Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n)−(((−1)^n 2)/(2n+1))−2((1/3)−(1/5)+..)+((1/2)−(1/3)+...) =−(π^2 /(12))+3log(2)+8((π/4)−1)+(1−log(2)) =((−π^2 )/(12))+2log(2)+2π−7

$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{3}\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{3}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+..\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...\right) \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\mathrm{3}{log}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{8}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}−{log}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$=\frac{−\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\mathrm{2}{log}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\pi−\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/May/21

let S=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 (n+1)(2n+1)^2 )) let decompose F(x)=(1/(x^2 (x+1)(2x+1))) ⇒F(x)=(a/x)+(b/x^2 ) +(c/(x+1)) +(d/(2x+1)) b=1 ,c=−1 ,d =(1/(((1/4))((1/2))))=8 ⇒F(x)=(a/x)+(1/x^2 )−(1/(x+1)) +(8/(2x+1)) lim_(x→+∞) xF(x)=0 =a−1+4 ⇒a=−3 ⇒ F(x)=−(3/x)+(1/x^2 )−(1/(x+1)) +(8/(2x+1)) ⇒ S=−3Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 )−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) +8Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1)) we have Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) =−log2 Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) =(2^(1−2) −1)ξ(2) =−(1/2).(π^2 /6)=−(π^2 /(12)) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) =−Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/n) =−(−log2 +1) =−1+log2 Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1)) =(π/4)−1 ⇒ S=−3(−log2)−(π^2 /(12)) +1−log2 +2π−8 =2log2 −(π^2 /(12)) +2π−7

$$\mathrm{let}\:\:\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{1}\:\:,\mathrm{c}=−\mathrm{1}\:,\mathrm{d}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}=\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}−\mathrm{1}+\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}=−\mathrm{3}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{8}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:=−\mathrm{log2} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$=−\left(−\mathrm{log2}\:+\mathrm{1}\right)\:=−\mathrm{1}+\mathrm{log2} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}=−\mathrm{3}\left(−\mathrm{log2}\right)−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{1}−\mathrm{log2}\:+\mathrm{2}\pi−\mathrm{8} \\ $$$$=\mathrm{2log2}\:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{2}\pi−\mathrm{7} \\ $$

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