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Question Number 145749 by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/21

g(x)=log(tan(x)) developp g at fourier serie

$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log}\left(\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}\right)\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{g}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/21

g(x)=log(((sinx)/(cosx)))=log(sinx)−log(cosx) we have log(cosx)=log(((e^(ix) +e^(−ix) )/2)) log(e^(ix) +e^(−ix) )−log2 =ix +log(1+e^(−2ix) )−log2 log(1+u)^′ =(1/(1+u))=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n u^n ⇒log(1+u)=Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n+1))u^(n+1) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)u^n ⇒log(1+e^(−2ix) )=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)e^(−2nix) ⇒ log(cosx) =−log2 +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n){cos(2nx)+isin(2nx)}+ix but log(cosx)is real ⇒ log(cosx)=−log2 +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)cos(2nx) log(sinx)=log(cos((π/2)−x))=−log2 +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)cos(2n((π/2)−x)) =−log2+Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)(−1)^n cos(2nx) =−log2 −Σ_(n=1) ^∞ (1/n)cos(2nx) ⇒ log(tanx)=−log2−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx))/n) +log2−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)cos(2nx) =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n)cos(2nx)+Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n)cos(2nx) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n −1)/n)cos(2nx) =−2Σ_(n=0) ^∞ (1/(2n+1))cos(2(2n+1)x) ⇒log(tanx)=−2Σ_(n=0) ^∞ (1/(2n+1))cos((4n+2)x)

$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}\right)=\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)−\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}\right)=\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)−\mathrm{log2}\:=\mathrm{ix}\:+\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)−\mathrm{log2} \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{'} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2nix}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}\right)\:=−\mathrm{log2}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2nx}\right)\right\}+\mathrm{ix} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{real}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}\right)=−\mathrm{log2}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right) \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)=\mathrm{log}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{x}\right)\right)=−\mathrm{log2}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$=−\mathrm{log2}+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right) \\ $$$$=−\mathrm{log2}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{tanx}\right)=−\mathrm{log2}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:+\mathrm{log2}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right) \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}\left(\mathrm{tanx}\right)=−\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{4n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$

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