Question Number 76434 by benjo last updated on 27/Dec/19
$$\mathrm{if}\:\mathrm{sec}\:\mathrm{x}\:−\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{4},\:\mathrm{then}\:\mathrm{find}\: \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}. \\ $$
Answered by john santu last updated on 27/Dec/19
$${using}\::\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\right)×\left(\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\:{by}\:{elimination}\: \\ $$$${the}\:{equation}\:{we}\:{get}\:\mathrm{2}\:\mathrm{sec}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}\:=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{17}\:}.\:{so}\:{you}\:{will}\:{get}\:\mathrm{sin}\:{x}. \\ $$
Answered by MJS last updated on 27/Dec/19
![sec x −tan x =4 ((1−sin x)/(cos x))=4 [⇒ cos x ≠0] 1−sin x =4(√(1−sin^2 x)) (1−sin x)^2 =16−16sin^2 x sin^2 x −(2/(17))sin x −((15)/(17))=0 ⇒ sin x =−((15)/(17)) ∨ sin x =1 but sin x =1 ⇔ cos x =0 not allowed ⇒ sin x =−((15)/(17))](https://www.tinkutara.com/question/Q76512.png)
$$\mathrm{sec}\:{x}\:−\mathrm{tan}\:{x}\:=\mathrm{4} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{cos}\:{x}}=\mathrm{4}\:\left[\Rightarrow\:\mathrm{cos}\:{x}\:\neq\mathrm{0}\right] \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\:=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{16}−\mathrm{16sin}^{\mathrm{2}} \:{x} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{17}}\mathrm{sin}\:{x}\:−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{17}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:{x}\:=−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{17}}\:\vee\:\mathrm{sin}\:{x}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{sin}\:{x}\:=\mathrm{1}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\mathrm{0}\:\mathrm{not}\:\mathrm{allowed} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:{x}\:=−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{17}} \\ $$