Question Number 37449 by gunawan last updated on 13/Jun/18
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}}\:{dx}= \\ $$
Answered by ajfour last updated on 13/Jun/18
![3x^3 −x^2 +2x+4 =3x(x^2 −3x+2)+8(x^2 −3x+2) +10(2x−3)+18 So I=∫_0 ^( 1) (3x+8)(√(x^2 −3x+2))dx +10∫_0 ^( 1) ((2x−3)/( (√(x^2 −3x+2))))dx+18∫_0 ^( 1) (dx/( (√(x^2 −3x+2)))) I=(3/2)∫_0 ^( 1) (2x−3)(√(x^2 −3x+2))dx + ((25)/2)∫_0 ^( 1) (√(x^2 −3x+2)) dx +10∫_0 ^( 1) ((2x−3)/( (√(x^2 −3x+2)))) dx +18∫_0 ^( 1) (dx/( (√(x^2 −3x+2)))) I=(x^2 −3x+2)^(3/2) ∣_0 ^1 +((25)/2)[(((2x−3)/4))(√(x^2 −3x+2)) −(1/8)ln ∣x−(3/2)+(√(x^2 −3x+2)) ∣]_0 ^1 +20(√(x^2 −3x+2)) ∣_0 ^1 +18ln ∣x−(3/2)+(√(x^2 −3x+2)) ∣_0 ^1 I=−2(√2)+((75(√2))/8)−(1/8)ln ∣((1/2)/(3/2−(√2)))∣ −20(√2) =−((101(√2))/8)+(1/8)ln (3+2(√2)) .](https://www.tinkutara.com/question/Q37470.png)
$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{3}{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{8}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{10}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{18} \\ $$$${So} \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}{x}+\mathrm{8}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{dx} \\ $$$$\:+\mathrm{10}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}}{dx}+\mathrm{18}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}} \\ $$$${I}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{dx} \\ $$$$\:\:+\:\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}\:{dx} \\ $$$$\:+\mathrm{10}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}}\:{dx} \\ $$$$\:+\mathrm{18}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}} \\ $$$${I}=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}\left[\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}\right. \\ $$$$\left.\:\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\mid{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}\:\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:+\mathrm{20}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}\:\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:+\mathrm{18ln}\:\mid{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}\:\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$${I}=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{75}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{3}/\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}\mid \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=−\frac{\mathrm{101}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:. \\ $$
Commented by gunawan last updated on 13/Jun/18
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Sir} \\ $$