Question Number 17203 by Arnab Maiti last updated on 02/Jul/17
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dx} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 02/Jul/17
![take 1 as second function ∫cot^(−1) (1−x+x^2 )∙1dx xcot^(−1) (1−x+x^2 )+∫((x(2x−1))/((1−x+x^2 )^2 +1))dx ∫((x(2x−1))/((1−x+x^2 )^2 +1))dx 1+x^2 +x^4 −2x+2x^2 −2x^3 +1 =x^4 −2x^3 +3x^2 −2x+2 =x^4 +x^2 −2x^3 −2x+2x^2 +2 =x^2 (x^2 +1)−2x(x^2 +1)+2(x^2 +1) =(x^2 +1)(x^2 −2x+2) ((2x^2 −x)/(x^2 +1)(x^2 −2x+2)))=((Ax+B)/(x^2 +1))+((Cx+D)/(x^2 −2x+2)) x^3 :A+C=0⇒A=−C x^2 :B−2A+D=2 x: 2A−2B+C=−1 1:2B+D=0⇒D=−2B x^2 :B−2A+D=2 ⇒B−2A−2B=2⇒B=−2A−2 x: 2A−2B+C=1 2A+4A+4−A=1⇒A=−1 A=−1,B=0,C=1,D=0 (x/(x^2 +1)(x^2 −2x+2)))=((−x)/(x^2 +1))+(x/(x^2 −2x+2)) =(((−x)/(x^2 +1))+(x/(x^2 −2x+2))) ∫((−x)/(x^2 +1))=−(1/2)∫((2x)/(x^2 +1)) =−(1/2)ln (x^2 +1) ∫(x/(x^2 −2x+2))dx =(1/2)∫((2x−2+2)/(x^2 −2x+2))dx =(1/2)∫((2x−2)/(x^2 −2x+2))dx+∫(1/(x^2 −2x+1+1))dx (1/2)∫((2x−2)/(x^2 −2x+2))dx=(1/2)ln (x^2 −2x+2) ∫(1/(x^2 −2x+1+1))dx ∫(1/((x−1)^2 +1))dx=tan^(−1) (x−1) ∫cot^(−1) (1−x+x^2 )dx= xcot^(−1) (1−x+x^2 )+ ((−1)/2)ln (x^2 +1)+ (1/2)ln (x^2 −2x+2)+tan^(−1) (x−1)]](https://www.tinkutara.com/question/Q17242.png)
$$\mathrm{take}\:\mathrm{1}\:\mathrm{as}\:\mathrm{second}\:\mathrm{function} \\ $$$$\int\mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\centerdot\mathrm{1}{dx} \\ $$$${x}\mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)+\int\frac{{x}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1} \\ $$$$={x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2} \\ $$$$={x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2} \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −{x}}{\left.{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)}=\frac{{Ax}+{B}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{{Cx}+{D}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} :{A}+{C}=\mathrm{0}\Rightarrow{A}=−{C} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} :{B}−\mathrm{2}{A}+{D}=\mathrm{2} \\ $$$${x}:\:\mathrm{2}{A}−\mathrm{2}{B}+{C}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}:\mathrm{2}{B}+{D}=\mathrm{0}\Rightarrow{D}=−\mathrm{2}{B} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} :{B}−\mathrm{2}{A}+{D}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{B}−\mathrm{2}{A}−\mathrm{2}{B}=\mathrm{2}\Rightarrow{B}=−\mathrm{2}{A}−\mathrm{2} \\ $$$${x}:\:\mathrm{2}{A}−\mathrm{2}{B}+{C}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}{A}+\mathrm{4}{A}+\mathrm{4}−{A}=\mathrm{1}\Rightarrow{A}=−\mathrm{1} \\ $$$${A}=−\mathrm{1},{B}=\mathrm{0},{C}=\mathrm{1},{D}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{x}}{\left.{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)}=\frac{−{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$=\left(\frac{−{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\int\frac{−{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\int\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{dx}+\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\int\mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right){dx}= \\ $$$${x}\mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)+ \\ $$$$\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+ \\ $$$$\left.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\right] \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 02/Jul/17
$${x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$${x}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$
Commented by Arnab Maiti last updated on 02/Jul/17
$$\mathrm{Ans}=\frac{\Pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$