Question Number 120363 by Lordose last updated on 30/Oct/20
$$ \\ $$$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{1st}\:\mathrm{nth}\:\mathrm{term} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Sequence} \\ $$$$ \\ $$$$\:\mathrm{1},\mathrm{4},\mathrm{10},\mathrm{22},\mathrm{46},…. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bigstar\mathrm{Almighty}\:\mathrm{Formula} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 31/Oct/20
![(1, 4, 10, 22, 46, ..., a_n )=(a_1 , a_2 , a_3 , ..., a_n ) a_1 =a_1 a_2 =a_1 +3 a_3 =a_2 +6 a_4 =a_3 +12 ... (sum all together) S_n =a_1 +S_(n−1) +(3+6+12+...+b_(n−1) ) S_n =a_1 +S_n −a_n +(3+6+...+b_(n−1) ) a_n =a_1 +(3+6+12+...+b_(n−1) ) a_n =1+(3+6+12+...+b_(n−1) ) [geometric progression] a_n =1+3(2^(n−1) −1) a_n =3.2^(n−1) −2 S_n =Σ_(k=1) ^n (3.2^(k−1) −2)=3(Σ_(k=1) ^n 2^(k−1) )−2n ⇒S_n =3.2^n −3−2n](https://www.tinkutara.com/question/Q120373.png)
$$\left(\mathrm{1},\:\mathrm{4},\:\mathrm{10},\:\mathrm{22},\:\mathrm{46},\:…,\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{a}_{\mathrm{3}} ,\:…,\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{4}} =\mathrm{a}_{\mathrm{3}} +\mathrm{12} \\ $$$$…\:\left(\mathrm{sum}\:\mathrm{all}\:\mathrm{together}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{S}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+\mathrm{12}+…+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{S}_{\mathrm{n}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+…+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+\mathrm{12}+…+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\: \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+\mathrm{12}+…+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\:\left[\mathrm{geometric}\:\mathrm{progression}\right] \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{3}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right)=\mathrm{3}\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right)−\mathrm{2n} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{3}−\mathrm{2n} \\ $$$$ \\ $$