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Find-four-values-of-n-satisfying-1-n-2000-and-2-n-n-2-mod-1024-

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Question Number 111503 by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20
Find four values of n satisfying 1≤n≤2000 and 2^n =n^2 (mod 1024)
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{four}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{n}\:\mathrm{satisfying} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant\mathrm{n}\leqslant\mathrm{2000}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right) \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 04/Sep/20
2^n =n^2 (mod 1024)⇔2^n −n^2 =k.2^(10) ⇔n^2 =2^n −k.2^(10) =2^(10) (2^(n−10) −k)(k∈N^∗ ) ⇔((n/(32)))^2 =2^(n−10) −k.⇒n=32m(m∈N^∗ ) 1<n≤2000⇒32m<2000⇒1≤m≤62 ⇒m^2 =2^(32m−10) −k(1) m=1⇒n=32,k=2^(22) −1 m=2⇒n=64,k=2^(54) −4 m=3⇒n=96,k=2^(86) −9 m=4⇒n=128,k=2^(118) −16 Thus ,we found four values of n satisfying 2^n =n^2 (mod 1024)are n∈{32,64,96,128}
$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\Leftrightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{k}.\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{k}.\mathrm{2}^{\mathrm{10}} =\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{k}\in\mathbb{N}^{\ast} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{32}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}.\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{32m}\left(\mathrm{m}\in\mathbb{N}^{\ast} \right) \\ $$$$\mathrm{1}<\mathrm{n}\leqslant\mathrm{2000}\Rightarrow\mathrm{32m}<\mathrm{2000}\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{m}\leqslant\mathrm{62} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{32m}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{32},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{22}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{64},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{54}} −\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{96},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{86}} −\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{128},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{118}} −\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{Thus}\:,\mathrm{we}\:\mathrm{found}\:\mathrm{four}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{satisfying}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{n}\in\left\{\mathrm{32},\mathrm{64},\mathrm{96},\mathrm{128}\right\} \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20
Thanks.
$$\mathrm{Thanks}. \\ $$
Answered by A5T last updated on 15/Jul/25
2^n −n^2 ≡0(mod 2024) 2^n −n^2 ≡0(mod 1024) ⇒ n is even Observe that when n≥10, 1024∣2^n ⇒1024∣n^2 For n<10, we check to see n=2 or 4 works. when n≥10, 1024∣2^n ⇒1024∣n^2 ⇒(n−32)(n+32)≡0(mod 1024) ⇒n≡32(mod 1024) or n≡−32(mod 1024) ⇒Four values include (2,4,32,64)
$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2024}\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even} \\ $$$$\mathrm{Observe}\:\mathrm{that}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{10},\:\mathrm{1024}\mid\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{1024}\mid\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{n}<\mathrm{10},\:\mathrm{we}\:\mathrm{check}\:\mathrm{to}\:\mathrm{see}\:\mathrm{n}=\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{4}\:\mathrm{works}. \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{10},\:\mathrm{1024}\mid\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{1024}\mid\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{n}−\mathrm{32}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{32}\right)\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}\equiv\mathrm{32}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{n}\equiv−\mathrm{32}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{Four}\:\mathrm{values}\:\mathrm{include}\:\left(\mathrm{2},\mathrm{4},\mathrm{32},\mathrm{64}\right) \\ $$

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