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give-0-arctan-x-1-x-2-2-dx-at-form-of-serie-

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Question Number 97627 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20
give ∫_0 ^∞ ((arctan(x))/((1+x^2 )^2 ))dx at form of serie
$$\mathrm{give}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20
A =∫_0 ^∞ ((arctan(x))/((1+x^2 )^2 )) dx we have (d/dx)(arctanx) =(1/(1+x^2 )) =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^(2n) ⇒arctan(x) =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n x^(2n+1) )/(2n+1)) +c (c=0) ⇒ A =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1)) ∫_0 ^∞ (x^(2n+1) /((1+x^2 )^2 ))dx =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1)) w_n w_n =∫_0 ^∞ (x^(2n+1) /((1+x^2 )^2 ))dx changement x =tanθ give w_n = ∫_0 ^(π/2) ((tan^n θ)/((1+tan^2 θ)^2 ))(1+tan^2 θ)dθ =∫_0 ^(π/2) cos^2 θ tan^n θ dθ ⇒A =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n w_n )/(2n+1))
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{arctanx}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{c}\:\:\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{tan}\theta\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{n}} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{\mathrm{tan}^{\mathrm{n}} \theta}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta\right)\mathrm{d}\theta\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{tan}^{\mathrm{n}} \:\theta\:\mathrm{d}\theta \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{w}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20
another way we have I =∫_0 ^∞ ((arctan(x))/((1+x^2 )^2 ))dx =∫_0 ^1 ((arctan(x))/((1+x^2 )^2 ))dx +∫_1 ^∞ ((arctan(x))/((1+x^2 )^2 ))dx(→x=(1/t)) =∫_0 ^1 ((arctan(x))/((1+x^2 )^2 ))dx +∫_0 ^1 (((π/2)−arctant)/((1+(1/t^2 ))^2 ))((dt/t^2 )) =∫_0 ^1 ((arctan(x))/((1+x^2 )^2 ))dx +∫_0 ^1 ((((π/2)−arctant)t^2 )/((1+t^2 )^2 ))dt =∫_0 ^1 ((arctan(x)+(π/2)x^2 −x^2 arctanx)/((1+x^2 )^2 ))dx =∫_0 ^1 (((1−x^2 )arctanx)/((1+x^2 )^2 )) +(π/2)∫_0 ^1 ((x^2 dx)/((1+x^2 )^2 )) we have for ∣u∣<1 (1/(1+u)) =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n u^n ⇒−(1/((1+u)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ n(−1)^n u^(n−1) ⇒(1/((1+u)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ n(−1)^(n−1) u^(n−1) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n u^n ⇒ (1/((1+x^2 )^2 )) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n x^(2n) ⇒ ∫_0 ^1 ((x^2 dx)/((1+x^2 )^2 )) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n ∫_0 ^1 x^(2n+2) dx =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)(−1)^n )/(2n+3)) ∫_0 ^1 (((1−x^2 )arctan(x))/((1+x^2 )^2 ))dx =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n ∫_0 ^1 (1−x^2 )x^(2n) arctan(x)dx =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n A_n with A_n =∫_0 ^1 (x^(2n) −x^(2n+2) )arctanx dx A_n =[((1/(2n+1))x^(2n+1) −(1/(2n+3))x^(2n+3) ) arctanx]_0 ^1 −∫_0 ^1 ((1/(2n+1))x^(2n+1) −(1/(2n+3))x^(2n+3) )(dx/(1+x^2 )) =(π/4)((1/(2n+1))−(1/(2n+3)))−(1/(2n+1))∫_0 ^1 (x^(2n+1) /(1+x^2 ))dx+(1/(2n+3)) ∫_0 ^1 (x^(2n+3) /(1+x^2 )) dx...be continued...
$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctant}}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctant}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{arctanx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctanx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{u}\mid<\mathrm{1}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{with}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctanx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} \right)\:\mathrm{arctanx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} \right)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$$$ \\ $$

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