Question Number 97616 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20
$$\mathrm{give}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20
![we have ∫_0 ^∞ (e^(−x) /((1+x)^2 ))dx =_(by parts) [−(1/(1+x))e^(−x) ]_0 ^∞ +∫_0 ^∞ (−(1/(x+1)))e^(−x) dx =1 −∫_0 ^∞ (e^(−x) /(1+x))dx =1−∫_0 ^∞ (1/(1+x))(Σ_(n=0) ^∞ (((−x)^n )/(n!)))dx =1−Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n!)) ∫_0 ^∞ (x^n /(1+x))dx but ∫_0 ^∞ (x^n /(1+x))dx =∫_0 ^1 (x^n /(1+x))dx +∫_1 ^∞ (x^n /(1+x))dx(→x=(1/t)) =∫_0 ^1 (x^n /(1+x))dx +∫_0 ^1 (1/(t^n (1+(1/t))))((dt/t^2 )) =∫_0 ^1 (x^n /(1+x))dx +∫_0 ^1 (dt/(t^n (t^2 +1))) =∫_0 ^1 x^n (Σ_(p=0) ^∞ (−1)^p x^p )dx +∫_0 ^1 x^(−n) (Σ_(p=0) ^∞ (−1)^p x^(2p) ) =Σ_(p=0) ^∞ (−1)^p ∫_0 ^1 x^(n+p ) dx +Σ_(p=0) ^∞ (−1)^p ∫_0 ^1 x^(2p−n) dx =Σ_(p=0) ^∞ (((−1)^p )/(n+p+1)) +Σ_(p=0) ^∞ (((−1)^p )/(2p−n+1)) ⇒ I =1−Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n!))( Σ_(p=0) ^∞ (((−1)^p )/(n+p+1)) +Σ_(p=0) ^∞ (((−1)^p )/(2p−n+1))) =1−Σ_(n,p) (((−1)^(n+p) )/(n!(n+p+1))) −Σ_(n,p) (((−1)^(n+p) )/(n!(2p−n+1)))](https://www.tinkutara.com/question/Q97729.png)
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{by}\:\mathrm{parts}} \:\:\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:+\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{1}\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\mathrm{1}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{1}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{but}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)}\left(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \left(\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{p}} \right)\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{−\mathrm{n}} \left(\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2p}} \right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{p}\:} \mathrm{dx}\:+\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2p}−\mathrm{n}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{n}+\mathrm{p}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{2p}−\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\mathrm{1}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\left(\:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{n}+\mathrm{p}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{2p}−\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−\sum_{\mathrm{n},\mathrm{p}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{p}} }{\mathrm{n}!\left(\mathrm{n}+\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)}\:−\sum_{\mathrm{n},\mathrm{p}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{p}} }{\mathrm{n}!\left(\mathrm{2p}−\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$