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Given-a-R-1-1-Show-that-x-R-1-2acos-x-a-2-gt-0-2-Show-that-k-1-n-1-2acos-2kpi-n-a-2-k-1-n-a-e-2ikpi-n-a-e-2ikpi-n-3-Deduce-that-

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Question Number 107500 by Ar Brandon last updated on 11/Aug/20
Given a ∈R−{±1} 1. Show that ∀x∈R 1−2acos(x)+a^2 >0 2. Show that; Π_(k=1) ^n (1−2acos(((2kπ)/n))+a^2 )=Π_(k=1) ^n (a−e^(2ikπ/n) )(a−e^(−2ikπ/n) ) 3. Deduce that; Π_(k=1) ^n (1−2acos(((2kπ)/n))+a^2 )=(a^n −1)^2 4. Using Reimann′s sum, calculate I=∫_0 ^(2π) ln(1−2acos(x)+a^2 )dx
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{a}\:\in\mathbb{R}−\left\{\pm\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\mathrm{1}−\mathrm{2acos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} >\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}; \\ $$$$\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2acos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\mathrm{a}−\mathrm{e}^{\mathrm{2ik}\pi/\mathrm{n}} \right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2ik}\pi/\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{3}.\:\mathrm{Deduce}\:\mathrm{that}; \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2acos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)=\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4}.\:\:\mathrm{Using}\:\mathrm{Reimann}'\mathrm{s}\:\mathrm{sum},\:\mathrm{calculate} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2acos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 11/Aug/20
1. 1−2acos(x)+a^2 =cos^2 −2acos(x)+a^2 +sin^2 (x) =(cos(x)−a)^2 +sin^2 (x)>0 2. 1−2a cos((2kπ)/n)+a^2 =(cos((2kπ)/n)−a)^2 +sin^2 ((2kπ)/n) =(cos((2kπ)/n)−a)^2 −(isin((2kπ)/n))^2 =(cos((2kπ)/n)−isin((2kπ)/n)−a)(cos((2kπ)/n)+isin((2kπ)/n)−a) =(a−e^(2ikπ/n) )(a−e^(−2ikπ/n) ) 3. See Mr 1549442205PVT ′s explanation on Q107498 4. I=∫_0 ^(2π) ln(1−2a cos(x)+a^2 )dx =lim_(n→∞) ((2π)/n)Σ_(k=1) ^n ln(1−2a cos(((2πk)/n))+a^2 ) =lim_(n→∞) ((2π)/n)lnΠ_(k=1) ^n (1−2a cos(((2πk)/n))+a^2 ) =lim_(n→∞) ((2π)/n)ln(a^n −1)^2 =lim_(n→∞) ((4π)/n)ln(a^n −1) =4πlim_(n→∞) [((ln(a^n −1))/n)]=4πlim_(n→∞) [((a^n lna)/(a^n −1))] =4πln(a)
$$\mathrm{1}.\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2acos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2acos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2a}\:\mathrm{cos}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{cos}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{cos}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{isin}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{cos}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}−\mathrm{isin}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{cos}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}+\mathrm{isin}\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{n}}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{a}−\mathrm{e}^{\mathrm{2ik}\pi/\mathrm{n}} \right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2ik}\pi/\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{3}.\:{See}\:{Mr}\:\mathrm{1549442205}{PVT}\:'\mathrm{s}\:{explanation}\:{on}\:{Q}\mathrm{107498} \\ $$$$\mathrm{4}.\:\:\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2a}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{n}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2a}\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{k}}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2a}\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{k}}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4}\pi\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{n}}\right]=\mathrm{4}\pi\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \mathrm{lna}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4}\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$

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