Question Number 98250 by bobhans last updated on 12/Jun/20
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{A}=\begin{pmatrix}{\mathrm{2}\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{non}\:\mathrm{singular}\:\mathrm{matrix} \\ $$$$\mathrm{P}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{P}^{−\mathrm{1}} \mathrm{AP}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{diagonal}\:\mathrm{matrix}. \\ $$
Commented by john santu last updated on 12/Jun/20
![find eigen vector det(A−λI)=0 determinant (((2−λ 2)),(( 1 3−λ)))= 0 ⇒λ = 1; 4 Eigen vector for λ = 1 (A−I) ((x),(y) ) = ((0),(0) ) ⇒ (((1 2)),((1 2)) ) ((x),(y) ) = ((0),(0) ) eigen−vector [((−2)),(( 1)) ] for λ = 4 ⇒ (((−2 2)),(( 1 −1)) ) [(x),(y) ]= ((0),(0) ) → x−y = 0 ; eigen−vector = [(1),(1) ] ∴ P = [((−2 1)),(( 1 1)) ] such that P^(−1) AP = [((1 0)),((0 4)) ]■](https://www.tinkutara.com/question/Q98253.png)
$$\mathrm{find}\:\mathrm{eigen}\:\mathrm{vector}\:\mathrm{det}\left(\mathrm{A}−\lambda\mathrm{I}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{2}−\lambda\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}−\lambda}\end{vmatrix}=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\lambda\:=\:\mathrm{1};\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{Eigen}\:\mathrm{vector}\:\mathrm{for}\:\lambda\:=\:\mathrm{1}\: \\ $$$$\left(\mathrm{A}−\mathrm{I}\right)\begin{pmatrix}{\mathrm{x}}\\{\mathrm{y}}\end{pmatrix}\:=\:\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix}\:\Rightarrow\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{2}}\end{pmatrix}\:\begin{pmatrix}{\mathrm{x}}\\{\mathrm{y}}\end{pmatrix}\:=\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{eigen}−\mathrm{vector}\:\begin{bmatrix}{−\mathrm{2}}\\{\:\:\:\mathrm{1}}\end{bmatrix} \\ $$$$\mathrm{for}\:\lambda\:=\:\mathrm{4}\:\Rightarrow\begin{pmatrix}{−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:−\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\begin{bmatrix}{\mathrm{x}}\\{\mathrm{y}}\end{bmatrix}=\:\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$$\rightarrow\:\mathrm{x}−\mathrm{y}\:=\:\mathrm{0}\:;\:\mathrm{eigen}−\mathrm{vector}\:=\:\begin{bmatrix}{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}\end{bmatrix} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{P}\:=\:\begin{bmatrix}{−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{bmatrix}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\mathrm{P}^{−\mathrm{1}} \mathrm{AP}\:=\:\begin{bmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\mathrm{4}}\end{bmatrix}\blacksquare \\ $$