Question Number 159229 by tounghoungko last updated on 14/Nov/21
$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{x}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}}+{x}−\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}}\:\right)=? \\ $$
Answered by FongXD last updated on 14/Nov/21
![L=lim_(x→+∞) x((√(x^2 +2x))−x+2x−2(√(x^2 +x))) L=lim_(x→+∞) x[(((x^2 +2x)−x^2 )/( (√(x^2 +2x))+x))+((4x^2 −4(x^2 +x))/(2x+2(√(x^2 +x))))] L=lim_(x→+∞) x(((2x)/( (√(x^2 +2x))+x))−((2x)/(x+(√(x^2 +x))))) L=lim_(x→+∞) 2x^2 [(((x+(√(x^2 +x)))−((√(x^2 +2x))+x))/(((√(x^2 +2x))+x)(x+(√(x^2 +x)))))] L=lim_(x→+∞) 2x^2 [(((x^2 +x)−(x^2 +2x))/(((√(x^2 +2x))+x)(x+(√(x^2 +x)))((√(x^2 +x))+(√(x^2 +2x)))))] L=lim_(x→+∞) ((−2x^3 )/(x^3 ((√(1+2x^(−1) ))+1)(1+(√(1+x^(−1) )))((√(1+x^(−1) ))+(√(1+2x^(−1) ))))) L=((−2)/( ((√(1+0))+1)(1+(√(1+0)))((√(1+0))+(√(1+0)))))=−(1/4)](https://www.tinkutara.com/question/Q159243.png)
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}x}\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}−\mathrm{x}+\mathrm{2x}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}x}\left[\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}+\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}}\right] \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}x}\left(\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}+\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}}\right) \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}2x}^{\mathrm{2}} \left[\frac{\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}\right)−\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}+\mathrm{x}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}\right)}\right] \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}2x}^{\mathrm{2}} \left[\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}\right)}\right] \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2x}^{−\mathrm{1}} }+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2x}^{−\mathrm{1}} }\right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\frac{−\mathrm{2}}{\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}\right)}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by qaz last updated on 15/Nov/21
$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}x}\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}+\mathrm{x}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2x}}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(\sqrt{\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2x}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{4x}}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0},\xi\rightarrow\mathrm{4}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}\sqrt{\xi}}\left(\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2x}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{4}+\mathrm{4x}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2x}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0},\zeta\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\zeta}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2x}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$