Question Number 63643 by vajpaithegrate@gmail.com last updated on 06/Jul/19
$$\mathrm{P}\left(\alpha,\beta\right)\:\mathrm{Q}\left(\gamma,\delta\right)\:\mathrm{are}\:\mathrm{two}\:\mathrm{points}\:\mathrm{lie}\:\mathrm{on}\:\mathrm{curve} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}=\mathrm{0}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{XY}\:\mathrm{plane}.\mathrm{If}\:\mathrm{d}=\mathrm{PQ}\:\mathrm{then}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{d}= \\ $$$$\mathrm{ans}:\pm\mathrm{2n}\pi,\mathrm{n}\in\mathrm{N} \\ $$
Answered by MJS last updated on 06/Jul/19
![(d/dy)[y^2 +2y]=2y+2=0 ⇒ y=−1 ⇒ ⇒ y^2 +2y has its minimum at (((−1)),((−1)) ) (d/dt)[tan^2 t +cos^2 t]=2((tan t)/(cos^2 t))−2sin t cos t =0 ⇒ ⇒ t=nπ ⇒ tan^2 t +cos^2 t has its minima at (((nπ)),(1) ) ⇒ the only possibilities for pairs ((x),(y) ) are (((nπ+1)),((−1)) ) two points (((mπ+1)),((−1)) ) and (((nπ+1)),((−1)) ) have the distance d=∣m−n∣π=kπ; m, n∈Z, k ∈N ⇒ cos d =±1](https://www.tinkutara.com/question/Q63659.png)
$$\frac{{d}}{{dy}}\left[{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}\right]=\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}\:\mathrm{has}\:\mathrm{its}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{at}\:\begin{pmatrix}{−\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\frac{{d}}{{dt}}\left[\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{t}\:+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}\right]=\mathrm{2}\frac{\mathrm{tan}\:{t}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}}−\mathrm{2sin}\:{t}\:\mathrm{cos}\:{t}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:{t}={n}\pi \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{t}\:+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}\:\:\mathrm{has}\:\mathrm{its}\:\mathrm{minima}\:\mathrm{at}\:\begin{pmatrix}{{n}\pi}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{possibilities}\:\mathrm{for}\:\mathrm{pairs}\:\begin{pmatrix}{{x}}\\{{y}}\end{pmatrix}\:\mathrm{are}\:\begin{pmatrix}{{n}\pi+\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{two}\:\mathrm{points}\:\begin{pmatrix}{{m}\pi+\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\mathrm{and}\:\begin{pmatrix}{{n}\pi+\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{distance}\:{d}=\mid{m}−{n}\mid\pi={k}\pi;\:{m},\:{n}\in\mathbb{Z},\:{k}\:\in\mathbb{N} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{cos}\:{d}\:=\pm\mathrm{1} \\ $$