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prove-that-0-1-ln-2-1-x-x-2-dx-2-2-proof-1-x-ln-2-1-x-0-1-0-1-2ln-1-x-x-1-x-dx-lim-1-1-l

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Question Number 166180 by mnjuly1970 last updated on 15/Feb/22
prove that 𝛗=∫_0 ^( 1) (( ln^( 2) (1βˆ’x ))/x^( 2) ) dx = 2 ΞΆ (2) βˆ’βˆ’βˆ’proofβˆ’βˆ’βˆ’ 𝛗= [((βˆ’1)/x) ln^( 2) (1βˆ’x) ]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^( 1) ((2ln(1βˆ’x))/(x(1βˆ’x)))dx =βˆ’lim_( ΞΎβ†’1^βˆ’ ) (1/ΞΎ)ln^( 2) (1βˆ’ΞΎ)βˆ’2{ ∫_0 ^( 1) ((ln(1βˆ’x))/(1βˆ’x))dx+∫_0 ^( 1) ((ln(1βˆ’x))/x)dx} = βˆ’lim_( ΞΎβ†’1^βˆ’ ) {(1/ΞΎ)ln^( 2) (1βˆ’ΞΎ)+ln^( 2) (1 βˆ’ΞΎ)}+2 ΞΆ(2) =lim_(ΞΎβ†’1^βˆ’ ) (((ΞΎβˆ’1)/ΞΎ))ln^( 2) (1βˆ’ΞΎ) +2ΞΆ(2) =_(ΞΎβ†’1^βˆ’ , Ξ΄β†’0^( +) ) ^(1βˆ’ΞΎ= Ξ΄) [lim_( Ξ΄β†’0^( +) ) (((βˆ’Ξ΄)/(1βˆ’Ξ΄)))ln^2 (Ξ΄)=0] +2ΞΆ(2) β–  m.n ∴ 𝛗 = 2 ΞΆ(2)
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{prove}\:\:{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}βˆ’{x}\:\right)}{{x}^{\:\mathrm{2}} }\:{dx}\:=\:\mathrm{2}\:\zeta\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:βˆ’βˆ’βˆ’{proof}βˆ’βˆ’βˆ’ \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\:\left[\frac{βˆ’\mathrm{1}}{{x}}\:{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)\:\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=βˆ’{lim}_{\:\xi\rightarrow\mathrm{1}^{βˆ’} } \frac{\mathrm{1}}{\xi}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}βˆ’\xi\right)βˆ’\mathrm{2}\left\{\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)}{\mathrm{1}βˆ’{x}}{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)}{{x}}{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:βˆ’{lim}_{\:\xi\rightarrow\mathrm{1}^{βˆ’} } \left\{\frac{\mathrm{1}}{\xi}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}βˆ’\xi\right)+{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\:βˆ’\xi\right)\right\}+\mathrm{2}\:\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:={lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{1}^{βˆ’} } \left(\frac{\xiβˆ’\mathrm{1}}{\xi}\right){ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}βˆ’\xi\right)\:+\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\underset{\xi\rightarrow\mathrm{1}^{βˆ’} \:,\:\delta\rightarrow\mathrm{0}^{\:+} } {\overset{\mathrm{1}βˆ’\xi=\:\delta} {=}}\left[{lim}_{\:\delta\rightarrow\mathrm{0}^{\:+} } \left(\frac{βˆ’\delta}{\mathrm{1}βˆ’\delta}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left(\delta\right)=\mathrm{0}\right]\:+\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\blacksquare\:{m}.{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\therefore\:\:\:\boldsymbol{\phi}\:=\:\mathrm{2}\:\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

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