Question Number 108506 by mnjuly1970 last updated on 17/Aug/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Aug/20
![A =∫_0 ^∞ ((ln(x^2 +1))/(x^2 (x^2 +3)))dx ⇒A =_(x=(√3)t) ∫_0 ^∞ ((ln(1+3t^2 ))/(3t^2 (3t^2 +3)))(√3)dt ⇒9A =(√3)∫_0 ^∞ ((ln(3t^2 +1))/(t^2 (t^2 +1)))dt =(√3){∫_0 ^∞ ((1/t^2 )−(1/(t^2 +1)))ln(3t^2 +1)dt} =(√3)∫_0 ^∞ ((ln(3t^2 +1))/t^2 )dt −(√3)∫_0 ^∞ ((ln(3t^2 +1))/(t^2 +1))dt =(√3)H−(√3)K H = ∫_0 ^∞ ((ln(3t^2 +1))/t^2 ) dt =[−(1/t)ln(1+3t^2 )]_0 ^∞ +∫_0 ^∞ ((6t)/(t(1+3t^2 )))dt =6 ∫_0 ^∞ (dt/(1+3t^2 )) =_((√3)t =u) 6 ∫_0 ^∞ (du/( (√3)(1+u^2 ))) =(6/( (√3)))×(π/2) =((3π)/( (√3))) =π(√3) let f(a) =∫_0 ^∞ ((ln(a+3t^2 ))/(t^2 +1))dt with a>0 we have f(1) =K f^′ (a) =∫_0 ^∞ (1/((a+3t^2 )(t^2 +1)))dt let decompose F(t) =(1/((3t^2 +a)(t^2 +1))) ⇒F(t) =((αt +β)/(3t^2 +a)) +((et +f)/(t^2 +1)) F(−t)=F(t) ⇒((−αt +β)/(3t^2 +a)) +((−et +f)/(t^2 +1)) =F(t) ⇒α=e =0 ⇒ F(t) =(β/(3t^2 +a)) +(f/(t^2 +1)) ⇒βt^2 +β +3ft^2 +af =1 ⇒ (β+3f)t^2 +β +af =1 ⇒ { ((β =−3f)),((−3f+af =1)) :} ⇒ { ((f =(1/(a−3)) ⇒)),((β =((−3)/(a−3)))) :} F(t) =((−3)/((a−3)(3t^2 +a))) +(1/((a−3)(t^2 +1))) ⇒ f^′ (a) =((−3)/(a−3))∫_0 ^∞ (dt/(3t^2 +a)) +(1/(a−3))∫_0 ^∞ (dt/(t^2 +1)) but ∫_0 ^∞ (dt/(3t^2 +a)) =(1/3)∫_0 ^∞ (dt/(t^2 +(a/3))) =_(t =(√(a/3))u) (1/3).(3/a)∫_0 ^∞ (1/(u^2 +1))((√a)/( (√3)))du =(1/( (√(3a))))×(π/2) ⇒f^′ (a) =((−3)/(a−3)).(π/(2(√3)(√a))) +(π/(2(a−3))) =−((π(√3))/2).(1/((a−3)(√a))) +(π/(2(a−3))) ⇒f(a) =−((π(√3))/2) ∫ (da/((a−3)(√a))) +(π/2)ln∣a−3∣ +c ∫ (da/( (√a)(a−3))) =_((√a)=z) ∫ ((2zdz)/(z(z^2 −3))) =∫ ((2dz)/((z−(√3))(z+(√3)))) =(1/( (√3)))∫ ((1/(z−(√3)))−(1/(z+(√3))))dz =(1/( (√3)))ln∣(((√a)−(√3))/( (√a)+(√3)))∣ ⇒ f(a) =−(π/2)ln∣(((√a)−(√3))/( (√a)+(√3)))∣ +(π/2)ln∣a−3∣ +c we have f(0) =(π/2)ln(3)+c =∫_0 ^∞ ((ln(3t^2 ))/(1+t^2 )) dt =ln(3)(π/2) +2 ∫_0 ^∞ ((lnt)/(1+t^2 )) dt(→0) =(π/2)ln3 ⇒c=0 ⇒ f(a) =(π/2)ln∣a−3∣−(π/2)ln∣((a−3)/(((√a)+(√3))^2 ))∣ =(π/2)ln∣a−3∣−(π/2)ln∣a−3∣ +(π/2)ln(((√a)+(√3))^2 ) =πln((√a)+(√3)) ⇒K =f(1) =πln(1+(√3)) 9A =(√3)H −(√3)K =3π −(√3)π ln(1+(√3)) ⇒ A =(1/9)(3π −π(√3)ln(1+(√3)))](https://www.tinkutara.com/question/Q108558.png)
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=_{\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{9A}\:=\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=\sqrt{\mathrm{3}}\left\{\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{dt}\right\} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{H}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{H}\:=\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt}\:\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{6t}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{6}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} }\:=_{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}\:=\mathrm{u}} \:\:\:\mathrm{6}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{6}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}×\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{3}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\pi\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}>\mathrm{0}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\alpha\mathrm{t}\:+\beta}{\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}}\:+\frac{\mathrm{et}\:+\mathrm{f}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(−\mathrm{t}\right)=\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow\frac{−\alpha\mathrm{t}\:+\beta}{\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}}\:+\frac{−\mathrm{et}\:+\mathrm{f}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow\alpha=\mathrm{e}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\beta}{\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}}\:+\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\beta\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\beta\:+\mathrm{3ft}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{af}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\beta+\mathrm{3f}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\beta\:+\mathrm{af}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\begin{cases}{\beta\:=−\mathrm{3f}}\\{−\mathrm{3f}+\mathrm{af}\:=\mathrm{1}}\end{cases}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{f}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{3}}\:\Rightarrow}\\{\beta\:=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{a}−\mathrm{3}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{a}−\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{3}}}\:\:=_{\mathrm{t}\:=\sqrt{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{3}}}\mathrm{u}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\frac{\sqrt{\mathrm{a}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3a}}}×\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{a}−\mathrm{3}}.\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{a}}}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)\sqrt{\mathrm{a}}}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{da}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)\sqrt{\mathrm{a}}}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{a}−\mathrm{3}\mid\:+\mathrm{c} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{da}}{\:\sqrt{\mathrm{a}}\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)}\:=_{\sqrt{\mathrm{a}}=\mathrm{z}} \:\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{2zdz}}{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{2dz}}{\left(\mathrm{z}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{z}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}+\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{a}}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{3}}}\mid\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{a}}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{3}}}\mid\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{a}−\mathrm{3}\mid\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{c}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt}\left(\rightarrow\mathrm{0}\right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln3}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{a}−\mathrm{3}\mid−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{a}−\mathrm{3}}{\left(\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }\mid\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{a}−\mathrm{3}\mid−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{a}−\mathrm{3}\mid \\ $$$$+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\left(\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \right)\:=\pi\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:\:\Rightarrow\mathrm{K}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\mathrm{9A}\:=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{H}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{K}\:=\mathrm{3}\pi\:−\sqrt{\mathrm{3}}\pi\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{3}\pi\:−\pi\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Aug/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…..\clubsuit\:\:\mathrm{M}{athematical}\:\:\:\mathrm{A}{nlysis}\:\clubsuit…..\:\:\:\: \\ $$$$\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…\bigstar\:\mathrm{PROVE}\:\:\:\:\mathrm{THAT}\bigstar… \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\frac{\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:−….\infty \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\:\right)\:\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\mathrm{1}+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}−…\: \\ $$$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{master}\:\mathrm{very}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\: \\ $$$$\mathrm{peace}\:\mathrm{be}\:\mathrm{upon}\:\mathrm{you}\:\mathrm{and}\:\mathrm{mercey}… \\ $$